Algebra: Il quaderno delle regole

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La potenza di un numero relativo a è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti ne indica l'esponente n: 							a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ ... ∙ a 								n volte - se la base è positiva la potenza è positiva. - se la base è negativa è l'esponente è pari la potenza è positiva. - se la base è negativa è l'esponente è dispari la potenza è negativa.

PROPRIETÀ DELL'ADDIZIONE

: La somma di due o più numeri relativi non cambia se si cambia l'ordine degli addendi. Esempio (+3)+(-7)=(-7)+(+3)=-4 In simboli:

: La somma di tre o più numeri relativi non cambia se a due o più addendi si sostituisce la loro somma. Esempio 12-4+9=-12+(-4+9)=12+5=17 In simboli:

Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno. Es. +1 e +3 Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso. Es. -2 e +5 Il valore assoluto o modulo di un numero relativo è il numero senza il segno. Es. |-5|= 5; |+3|= 3 Due numeri relativi si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso. Es. +2 e -2 infatti |+2|=|-2|= 2

Se i due termini di una divisione sono concordi il segno del quoziente è + Se i due termini di una divisione sono discordi il segno del quoziente è - Regola dei segni:

+ : + = + + : - = - - : + = - - : - = +

LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI

Addizione di due numeri relativi

Numeri concordi: si addizionano i valori assoluti e si scrive il segno + se sono positivi, il segno - se sono negativi. Esempi (+5)+(+3)=+8; (-7)+(-2)=-9 Numeri discordi: si sottraggono i valori assoluti e si scrive il segno dell'addendo che ha valore assoluto maggiore. Esempi (+6)+(-4)=+2 perché 6&gt;4; (-10)+(=2)=-7 perché 10&gt;3 In particolare: - la somma di due numeri relativi opposti è uguale a zero. Esempi (+3)+(-3)=0; (-5)+(+5)=0 - lo zero è l'elemento neutro rispetto all'addizione. Esempi (-3)+0=-3; 0+(+7)=+7

LA POTENZA CON ESPONENTE INTERO NEGATIVO

La potenza di un numero relativo (diverso da zero) con esponente intero negativo è la frazione che ha per numeratore 1 e per denominatore la stessa potenza con esponente positivo:		

In particolare, le potenze di 10 sono utilizzate per scrivere in notazione scientifica non solo numeri grandi ma anche numeri molto piccoli. Per esempio: un numero molto piccolo come 0,000000134 si scrive

PROPRIETA' DELLA DIVISIONE

(+12)	:	(-3) = 	 ∙ (+2)		∙ (+2) (+24)	:	(-6) = -4 In simboli:

a : b = (a ∙ c) : (b ∙ c) a : b = (a : c) : (b : c)

Proprietà distributiva rispetto al'addizione algebrica

(-4 + 6) : 2 = (-4 : 2) + (+6 : 2) = = -2 + 3 = 1 In simboli:

(a + b) : c = (a : c) + (b : c)

L'insieme dei numeri reali

L'insieme di tutti i numeri interi, razionali e irrazionali costituisce l'insieme dei numeri reali e si indica con la lettera R.

R= numeri reali Q= numeri razionali Z= numeri interi relativi N= numeri naturali I= numeri irrazionali

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MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE

LA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO RELATIVO

Anche per i numeri relativi la radice quadrata di un numero è quel numero che è elevato al quadrato dà come risultato il radicando. La radice quadrata di un numero negativo, per esempio √-12, non esiste, perché nessun numero relativo elevato al quadrato dà per risultato un numero negativo.

ESPRESSIONI ALGEBRICHE CON LE QUATTRO OPERAZIONI

Se in un'espressione algebrica figurano moltiplicazioni, divisioni e addizioni algebriche, si eseguono: - prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui sono indicate; - poi le addizioni algebriche.

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Il quaderno delle regole

Classe: terza Scuola secondaria di primo grado

ESPRESSIONI CON ADDIZIONI ALGEBRICHE E MOLTIPLICAZIONI

Regole da seguire nello svolgimento di espressioni algebriche con addizioni algebriche e moltiplicazioni: - se non figurano parentesi si eseguono prima le moltiplicazioni e poi le addizioni algebriche; - se in una espressione compaiono le parentesi, si eseguono le operazioni contenute in esse, iniziando dalle parentesi più interne.

Grandezze orientate e numeri relativi

I numeri relativi preceduti dal segno + si chiamano numeri positivi Es. +1; +2; +3; ... I numeri relativi preceduti dal segno - si chiamano numeri negativi Es. -1; -2; -3; ...

Rappresentazione grafica dei numeri relativi

I numeri relativi si possono rappresentare sulla retta orientata e graduata

Se i due numeri sono concordi, il prodotto è positivo, se i due numeri sono discordi, il prodotto è negativo. Regola dei segni:

+ ∙ + = + + ∙ - = - - ∙ + = - - ∙ - = +

Confronto di numeri relativi

Lo zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo.

Di due numeri positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore cioè quello che è più lontano dallo zero. Di due numeri negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore cioè quello che è più vicino allo zero. Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo.

Addizione di tre o più numeri relativi

La somma di tre o più numeri relativi si ottiene addizionando il primo addendo con il secondo, la somma ottenuta con il terzo e così via fino all'ultimo addendo. Esempio (+7)+(-2)+(-4)=	elimino i segni + dell'addizione e le parentesi tonde =7-2-4=			eseguo l'addizione 7-2 e scrivo il risultato +5, trascrivo -4 =+5-4=			eseguo l'addizione +5-4 e scrivo il risultato +1 =+1

Fai attenzione!

La differenza di due numeri relativi si può sempre trasformare in un'addizione: addizionando al primo numero l'opposto del secondo. Esempi (+3)-(+2)=(+3)+(-2)=3-2=+1 			 Lo zero non è l'elemento neutro rispetto alla sottrazione di due numeri relativi: (+3)-0=3 ma 0-(+3)=-3

ESPRESSIONI ALGEBRICHE NUMERICHE

Per risolvere un'espressione con le parentesi, prima si eseguono le espressioni nelle parentesi più interne e poi quelle nelle parentesi più esterne. Quindi calcoliamo prima le somme contenute nella parentesi tonda e poi quelle nella parentesi quadra. Esempio 4+[9-(-5+2+6)]= =4+[9-(+3)]=	eseguo i calcoli nella parentesi tonda e scrivo il risultato =4+[9+(-3)]=	trasformo la sottrazione in addizione =4+[9-3]=	eseguo i calcoli dentro la parentesi quadra e scrivo il risultato =4+[6]= 		eseguo la somma algebrica =10 			scrivo il risultato

Due numeri relativi si dicono uguali se hanno lo stesso segno e lo stesso valore assoluto. Es. +5=+5 ; -4= - 12 ; + 3= + 6 3 2 4

Due numeri relativi si dicono disuguali se differiscono o per il segno o per il valore assoluto. Es. +3 ≠ -3 ; - 2 ≠ - 1 5 2

PROPRIETA' DELLA MOLTIPLICAZIONE

(-7) ∙ (+3) = (+3) ∙ (-7) In simboli:

(+4) ∙ (-5) ∙ (-2) = (+4) ∙ [(-5) ∙ (-2)] In simboli:

a ∙ b ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

(-6) ∙ [(+7) + (-3)] = (-6) ∙ (+7) + (-6) ∙ (-3)] (+2) ∙ [(-5) - (-4) + (-2)] =(+2) ∙ (-5) - (+2) ∙ (-4) + (+2) ∙ (-2) In simboli:

a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c a ∙ (b - c) = a ∙ b - a ∙ c

ESPRESSIONI CON LE POTENZE DI NUMERI RELATIVI

Se in un'espressione non figurano parentesi si eseguono prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui compaiono e infine le addizioni algebriche. Se in un'espressione compaiono le parentesi, si eseguono le operazioni contenute in esse iniziando dalle parentesi più interne.