competencia 2

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2.1 Formulación y aplicación de modelos de programación lineal

La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los modelos es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales. (No se permite multiplicación de variables ni variables elevadas a potencias). Algunas de las siguientes restricciones no se pueden emplear en un modelo de programación lineal. &nbsp;

Un modelo de programación lineal se define usualmente como sigue: Maximizar o minimizar&nbsp;

User, S. (2021). Método SIMPLEX. www.aner.com. https://www.aner.com/blog/metodo-simplex.html#:~:text=El%20m%C3%A9todo% 20SIMP LEX%20se%20encarga,exista%20una%20variable%20 de%20entrada. IBM Documentation. (n.d.). https://www.ibm.com/docs/es/icos/12.9.0?topic=problem-dual-simplex-optimizer Tutoriales, G. (2016). Relaciones de Dualidad en Programación Lineal (Pasar de Primal a Dual). Gestión De Operaciones. https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/relaciones-de-dualidad-en-programacion-lineal-como-pasar-de-primal-a-dual/#:~:text=El%20modelo%20dual%20de%20un,conocido%20com%C3%BAnmente%20como%20modelo%20primal. Tutoriales, G. (2016a). Cambio de Variables en un Modelo de Programación Lineal. Gestión De Operaciones. https://www.google.com/amp/s/www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/cambio-de-variables-en-un-modelo-de-programacion-lineal-para-ser-resuelto-por-el-metodo-simplex/amp/

EJEMPLO Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos. Estima que el modelo uno requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo 2 requiere una unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son 120 dls. y 80 dls., respectivamente. ¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? OBJETIVO : Maximizar el ingreso por ventas &nbsp; RESTRICCIONES : Unidades de madera Tiempo disponible &nbsp;

APLICACIONES Una aplicación tipica del método simplex dual es en la resolución de problemas con una función objetivo de minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o iguales a cero. Con el método dual simplex podemos resolver problemas que se presentan de forma cotidiano en la vida laboral como los relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre máquina). A fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.

El método simplex tabular tiene la forma de una tabla de doble entrada, formada por filas y columnas. Para resolver el método simplex tabular el método Gaussiano para la determinación de la inversa de una matriz.

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y sujeto a: 2x + y ≤ 18&nbsp; 2x + 3y ≤ 42 &nbsp;3x + y ≤ 24 &nbsp;x ≥ 0 , y ≥ 0

x pasa a ser X1 y pasa a ser X2

Es el método que permite la solución de problemas de&nbsp;programación lineal, el cual se encuentra limitado a problemas de dos variables de decisión, debido a que no es posible una&nbsp;representación gráfica&nbsp;de&nbsp;más de tres dimensiones. Lo que quiere decir, que el método gráfico resulta impráctico o imposible para operaciones de tres o más variables.

El método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. El método dual-simplex requiere de la aplicación de dos criterios para su solución: El criterio de optimalidad que asegura que la solución permanecerá optima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza las soluciones básicas hacia el espacio factible. Criterio de factibilidad. La variable saliente será aquella vanable básica que tenga el valor más negativo en el vector bi. Si todas las variables básicas son positivas o sea 20 se tiene la solución final, óptima y factible Criterio de optimalidad. La variable entrante se selecciona de entre las variables no-básicas como sigue: Dividir los coeficientes de la ecuación cero entre los coeficientes de la ecuación asociada con la variable saliente, ignorando denominadores positivos y/o ceros. La variable entrante será aquella cuyo cociente sea el menor, si el problema es de minimizar, ó el de menor valor absoluto si es de maximizar. Si todos los denominadores son 20, el problema no tendrá solución factible.

Encuentre el número óptimo de unidades de cada tipo de máquina de escribir que se debe producir mensualmente para maximizar el ingreso. OBJETIVO: Maximizar el ingreso total &nbsp;RESTRICCIONES: horas mensuales de las operaciones &nbsp;VARIABLE DE DECISION: número de máquinas de escribir a producir &nbsp;X1&nbsp;= número de máquinas de escribir manuales X2&nbsp;= número de máquinas de escribir eléctricas &nbsp;&nbsp; Maximizar&nbsp;&nbsp;Z= 40&nbsp;X1&nbsp;+ 60X2&nbsp; &nbsp;Sujeto a:

índice 2.1 Formulación y aplicación de modelos de programación lineal 2.2 Método gráfico. 2.3 Método simplex 2.3.1 Solución gráfica. 2.3.2 Forma tabular 2.3.3 De las dos fases. 2.4 Método dual 2.4.1 Formulación del método. 2.4.2 Método dual-simplex. 2.4.3 Cambio en variables o en restricciones. 2.5 Análisis de resultados.

VARIABLE DE DECISION: X1&nbsp;= Cantidad de biombos tipo I a fabricar X2&nbsp;= Cantidad de biombos tipo II a fabricar Maximizar&nbsp; Sujeto a:

2.4.3 Cambio en variables o en restricciones

En algunas ocasiones en las que nos encontramos con un problema en el que aparecen variables acotadas inferiormente, puede ser conveniente someter dichas variables a un cambio de variable para que queden de la forma: Xi≥0 Y poder aplicar el método simplex. Es decir, lo que vamos a buscar es que sólo quede la restricción de positividad.

El concepto anterior nos permite hacer lo siguiente:&nbsp;Y1=X1-20&gt;=0;&nbsp;Y2=X2-20&gt;=0. Es decir&nbsp;X1=Y1+20&nbsp;y&nbsp;X2=Y2+20. En consecuencia podemos reescribir el modelo original de la siguiente forma:

Hemos visto como la programación lineal puede ser usada para resolver una extensa variedad de problemas propios de los negocios, ya sea para maximizar utilidades o minimizar costos. Las variables de decisión en tales problemas fueron, por ejemplo, el número de productos a producir, la cantidad de pesos a emplear, etc. En cada caso la solución óptima no explicó cómo podrían ser asignados los recursos (ejemplo: materia prima, capacidad de las máquinas, el dinero, etc.) para obtener un objetivo establecido.&nbsp;

EJEMPLO: Una compañía produce y vende 2 tipos de máquinas de escribir: manual y eléctrica. Cada máquina de escribir manual es vendida por un ingreso de 40 dls. y cada máquina de escribir eléctrica produce un ingreso de 60 dls. Ambas máquinas tienen que ser procesadas (ensambladas y empacadas) a través de 2 operaciones diferentes (O1 y O2). 	La compañía tiene una capacidad de 2000 hrs. Mensuales para la operación O1 y 1000 hrs. Mensuales de la operación O2.&nbsp; 	El número de horas requeridas de O1 y O2 para producir un modelo terminado se da en la siguiente tabla.

Consiste en graficar las rectas que conforman el sistema de ecuaciones lineales, para determinar las coordenadas (x,y) en donde se cortan dichas rectas. Las rectas se cortan en un solo punto. Esto significa que el sistema tiene única solución, dada por los valores x, y que son coordenadas del punto de corte.

Las soluciones óptimas se encontrarán en el perímetro del polígono resultante. Si nuestra función objetivo es una maximización y la línea que delimita nuestro dominio no es convexa, entonces nuestro problema, bajo estas condiciones, no tiene solución.

alternativa de solución que utiliza el modelo dual para simplificar el uso de sólo un algoritmo de solución en lugar de dos. En ambos casos el algoritmo converge a la solución óptima del modelo, si es que ésta existe, de otra manera nos indica que el problema no tiene solución.

2.5 Análisis de resultados. &nbsp;

Explicar cuáles son las bases teóricas de la investigación y las posibles aplicaciones prácticas que pueda tener. De donde salen tus conclusiones y para que sirven. Formular detalladamente y de forma clara las conclusiones. Dar recomendaciones o sugerencias si es necesario, para facilitar la compresión del informe.

Es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución

Procedimientos para encontrar la solución factible óptima: 1.&nbsp;Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles. La debilidad de este procedimiento se presenta cuando se tienen muchas restricciones que por supuesto generan un área con muchas esquinas, volviéndose dispendiosa la consecución de sus coordenadas, que implica la solución de muchos sistemas de ecuaciones lineales. 2.&nbsp;Usando la función objetivo para determinar la esquina del área de soluciones factible que la optimiza. La debilidad de éste procedimiento se presenta cuando la funciónobjetiva es aproximadamente paralela a uno de los lados del área de soluciones factible, originando la duda visual sobre la gráfica de cuál de los dos extremos (esquinas) es el que hace que la función objetivo se optimice. Se recomienda usar el segundo procedimiento y en caso de dudas visuales sobre la gráfica, recurrir al primer procedimiento para dirimir la duda respecto al par de esquinas. Primer procedimiento: Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles. Se recomienda usar el segundo procedimiento y en caso de dudas visuales sobre la gráfica, recurrir al primer procedimiento para dirimir la duda respecto al par de esquinas. Primer procedimiento: Evaluar la función objetivo Z en cada una de las esquinas del área de soluciones factibles.

En este método se considerará la primera fase de la siguiente forma: se reemplaza la función objetivo de la programación lineal por la minimización de las sumas de las variables artificiales encontradas y resolviéndose la minimización. En la segunda fase se inicia con una tabla terminando la primera fase y se retoma la función objetivo en donde todas las variables artificiales se igualan a cero eliminando las restricciones de holgura.

Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada. 	La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 33. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1&nbsp;= 3 y X2&nbsp;= 12. Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12.

Competencia 2. Programación Lineal

Aldana Fidencio Yonatan Galicia Colin Mishel Rojas Trejo América Paola

Ejemplo: F.O.: Max 5X+6Y S.a.: X+Y≤ 4 X+2Y≤ 6 La representación gráfica se ve en la figura. Dando valores a la función objetivo vamos obteniendo sucesivas rectas paralelas, de forma que según aumenta la función objetivo, la recta se separa del origen. Por tanto, puede suceder que nuestra función objetivo de valor óptimo coincida con una arista o con un vértice del polígono que delimite nuestro dominio. En nuestro caso, el vértice A(2,2) será la solución óptima. Luego el valor óptimo de nuestra función objetivo será: 5*2 + 6*2 = 22

A continuación les presentamos un video en el cual se explica el método grafico y simplex conformado con 3 participantes Aldana Fidencio Yonatan Galicia Colin Mishel Rojas Trejo América Paola