Geometrija prostora

Paper stack border

<a href="https://quizizz.com/join/quiz/5eceac5cbd3dd1001d549160/start?studentShare=true">https://quizizz.com/join/quiz/5eceac5cbd3dd1001d549160/start?studentShare=true</a>

application/vnd.openxmlformats-officedocument.wordprocessingml.document

Zadaci za DZ.docx

Tim - ORTOGONALNA PROJEKCIJA ( M.D., M.J., A.G.)

IZVOR: <a href="https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D_animacije-Platonova_tijela-129697">https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D_animacije-Platonova_tijela-129697</a>

Strane poliedra su mnogokuti koji omeđuju poliedar. Bridovi poliedra stranice su mnogokuta koji omeđuju poliedar. Vrhovi poliedra su vrhovi mnogokuta koji omeđuju poliedar. Označimo broj vrhova poliedra s V broj bridova s B i broj strana poliedra sa S. Za poliedre vrijedi Eulerova formula. Bez obzira na različitosti poliedara, jedno im je svojstvo svima zajedničko, veza između broja vrhova, bridova i strana poliedra. Zbroj broja vrhova i broja strana za svaki poliedar za dva je veći od broja njegovih bridova tj.&nbsp;&nbsp;&nbsp;V+S-B=2 Pravilni poliedar je geometrijsko (konveksno) tijelo koje je omeđeno sukladnim pravilnim mnogokutima i kojemu iz svakog vrha izlazi jednak broj bridova. Pravilnih poliedara ili Platonovih tijela ima točno pet.&nbsp;&nbsp;&nbsp;

<a href="https://www.google.com/search?q=poliedri&amp;sxsrf=ALeKk02Bc9KbRRdy2yS2hF-qWy6ynvaNLQ:1590696730426&amp;source=lnms&amp;tbm=isch&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwi_uL-Mr9fpAhXCyqQKHXBzBjAQ_AUoAXoECBAQAw&amp;biw=1920&amp;bih=937#imgrc=YpkvsPNttdYKkM">https://www.google.com/search?q=poliedri&amp;sxsrf=ALeKk02Bc9KbRRdy2yS2hF-qWy6ynvaNLQ:1590696730426&amp;source=lnms&amp;tbm=isch&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwi_uL-Mr9fpAhXCyqQKHXBzBjAQ_AUoAXoECBAQAw&amp;biw=1920&amp;bih=937#imgrc=YpkvsPNttdYKkM</a>

Izradili - učenici 2. G razreda Srednje škole Bedekovčina

Preslikavanja prostora

HOMOTETIJA je preslikavanje koje određene likove ili tijela preslikava u slične likove ili tijela ali u drugom omjeru.

Neka je S točka u ravnini i realni broj k≠0. Homotetija je preslikavanje koje svakoj točki ravnine T pridružuj točku T` te iste ravnine tako da vrijedi:

a) S,T,T` su kolinearne točke b) za k &gt; 0 točke T i T` nalaze se s iste strane točke S c) za k &lt; 0 točke T i T` nalaze se s različitih strana točke S d) |ST`|=|k|*|ST|

Točka S naziva se središte homotetije, a realni broj k≠0 naziva se koeficijent homotetije.

Izvor: <a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/af9b8682-eef4-478e-9b92-edcba4790886/html/10691_Homotetija.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/af9b8682-eef4-478e-9b92-edcba4790886/html/10691_Homotetija.html</a>

Pravilni heksaedar (kocka)&nbsp;(grč.&nbsp;heksa&nbsp;- šest)

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;strana (kvadrati) ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;vrhova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;12&nbsp;bridova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;kvadrata sijeku se u svakom vrhu

Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/ autor Kjell André Licenca: CC BY-SA 3.0.

IZVOR: <a href="https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D_animacije-Platonova_tijela-129697">https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D</a> <a href="https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D_animacije-Platonova_tijela-129697">_animacije-Platonova_tijela-129697</a>

Pravilni oktaedar&nbsp;(grč.&nbsp;okto&nbsp;- osam)

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;8&nbsp;strana (jednakostranični trokuti) ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;vrhova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;12&nbsp;bridova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;jednakostranična trokuta sijeku se u svakom vrhu

Izvor: https://commons.wikimedia.org/wiki/ autor Kjell André Licenca: CC BY-SA 3.0.

PRIMJERI ZRCALNE SIMETRIJE IZ PRIRODE I ARHITEKTURE

IZVOR: <a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/d2d61772-7e7a-4f5b-98f9-6bbb5d5d13ca/html/4873_Osna_simetrija.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/d2d61772-7e7a-4f5b-98f9-6bbb5d5d13ca/html/4873_Osna_simetrija.html</a>

&nbsp;Neckerova kocka Kocka podijeljena na dva dijela koji su prikazani na različite načine percepcije. Ta je kocka u stvarnom svijetu nemoguća, osim kad bi se napravila kao na donjoj slici (vidi se da su zelene stranice prerezane), a gledatelj bi zatvorio jedno oko i stao na točno određeno mjesto.&nbsp;

Nemoguće vile Zamislite ih u trodimenzionalnom prostoru.

Tri ravnine u prostoru mogu biti u jednom od pet mogućih položaja: a. postoji samo jedna točka zajednička za sve tri ravnine b. sve tri ravnine sijeku se duž jednog pravca c. po dvije se ravnine sijeku u trima paralelnim pravcima d. dvije su ravnine paralelne, a treća ih siječe duž dvaju paralelnih pravaca e. sve su tri ravnine paralelne

Na slici je kvadar duljina bridova 4 cm, 3 cm i 2 cm. Točka I je polovište brida GH, odredite: a. duljinu dužine BI b. kut pravca BI i ravnine CDG c. kut između ravnine BCI i ABC

izvori : <a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/page/home-page">https://edutorij.e-skole.hr/share/page/home-page</a>, školska knjiga, <a href="https://www.google.com/search?q=kut+dviju+ravnina&amp;sxsrf=ALeKk00P0Kj27ikk5iM3OzFiSeL08ISRDQ:1591079877321&amp;source=lnms&amp;tbm=isch&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwiQjZa3wuLpAhXWrIsKHRJdBqAQ_AUoAXoECAsQAw&amp;biw=1752&amp;bih=937">https://www.google.com/search?q=kut+dviju+ravnina&amp;sxsrf=ALeKk00P0Kj27ikk5iM3OzFiSeL08ISRDQ:1591079877321&amp;source=lnms&amp;tbm=isch&amp;sa=X&amp;ved=2ahUKEwiQjZa3wuLpAhXWrIsKHRJdBqAQ_AUoAXoECAsQAw&amp;biw=1752&amp;bih=937</a>

M.C. Escher - Slap &nbsp;Slap pada sam u sebe, odnosno, teče uzvodno. Iako to u stvarnosti nije moguće, slika se na prvi pogled čini potpuno normalnom. Malo se bolje usredotočite i na stupove koji drže konstrukciju kojom teče voda. Zbunjeni?

Official site - <a href="https://mcescher.com/">https://mcescher.com/</a>

1. Trima točkama koje ne leže na jednom pravcu 2. pravcem i točkom koja ne leži na njemu 3. dvama pravcima koji se sijeku 4. dvama paralelnim pravcima koji se ne podudaraju

Ortogonalna projekcija je metoda predstavljanja trodimenzionanih predmeta, obično sa tri dvodimenzionalna crteža koji se gledaju pojedinačno u odnosu na predmet putem paralelnih linija koje su okomite na ravninu crteža.

Ortogonalna projekcija točke na ravninu je presjek polupravca kojemu je početna točka zadana točka, a pravac je okomit na zadanu ravninu

Polupravac se zove zraka projiciranja, a ravnina - ravnina projiciranja

Izvor: <a href="https://www.slideserve.com/carissa-cleveland/ortogonalna-projekcija-na-ravninu">https://www.slideserve.com/carissa-cleveland/ortogonalna-projekcija-na-ravninu</a>

Dvije ravnine u prostoru mogu biti ili paralelne ili je njihov presjek pravac. Pritom paralelnost uključuje slučaj kad se ravnine podudaraju.

&nbsp;Dvije se ravnine podudaraju ako imaju barem tri zajedničke nekolinearne točke. π=ρ

Dvije su ravnine paralelne ako se podudaraju ili ako se ne sijeku. π∥ρ

Dvije ravnine koje imaju zajedničkih točaka, a ne podudaraju se, sijeku se po pravcu. π∩ρ=p

Poliedar&nbsp;je geometrijsko&nbsp;tijelo omeđeno ravnim plohama odnosno stranama, mjesta sastajanje strana zovu se bridovi, a bridovi se sastaju u vrhovima.

Strana poliedra je mnogokut. Ona je dio presječnih ravnina s pomoću kojih je poliedar nastao, a koji pripada poliedru. Brid je dio poliedra u kojem se sastaju dvije strane. Vrh je krajnja točka brida. To je zajednička točka triju ili više strana.

IZVOR: <a href="https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf%3A4664/datastream/PDF/view">https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/</a> <a href="https://repozitorij.pmf.unizg.hr/islandora/object/pmf%3A4664/datastream/PDF/view">object/pmf%3A4664/datastream/PDF/view</a>

ŠTO JE PRAVILNI POLIEDAR?

Za poliedar možemo reći da je pravilan ako zadovoljava neke uvjete, jedan od njih je da tijelo moraju sačinjavati pravilni mnogokuti, a drugi da iz svakog vrha tijela mora proizlaziti jednaki broj bridova.

Pravac - jednoznačno određen dvjema svojim točkama Točke koje pripadaju jednom pravcu su kolinearne

Ravnina je zadana ili određena trima točkama koje ne leže na jednom pravcu

Osna simetrija je preslikavanje prostora koje točku&nbsp;A &nbsp;preslika u&nbsp;A'

OSNA I CENTRALNA SIMETRIJA

Centralna simetrija je&nbsp;projekcija točke s obzirom na istaknutu točku&nbsp;O prostora

Pravac&nbsp;p nazivamo&nbsp;os simetrije

Točku&nbsp;O nazivamo&nbsp;središte simetrije

Mora vrijedit da: pravac&nbsp; AA'&nbsp;okomit je na pravac&nbsp;p &nbsp;ako je&nbsp;P sjecište pravca&nbsp;AA' i pravca p,tada vrijedi&nbsp;da je lAPl=lPA'l

Mora vrijediti: točke&nbsp;A, A' i O leže na istom pravcu vrijedi l AO l = l A'O l

1.Točke, pravci i ravnine Određenost pravca i ravnina Pravci u ravnini Pravci u prostoru&nbsp; Pravac i ravnina u prostoru Dvije ravnine Tri ravnine&nbsp; 2. Paralelnost i okomitost Paralelnost i okomitost pravca i ravnine Paralelnost i okomitost ravnina Presjeci kocke ravninom 3. Ortogonalna projekcija Udaljenost točke od ravnine

4. Preslikavanja prostora Simetralna ravnina i zrcalna simetrija Osna i centralna simetrija Homotetija Homotetija u prostoru 5. Kut pravca i ravnine Kut dviju ravnina Površina projiciranog lika 6. Konveksni skupovi Poluprostori i poliedri Pravilni poliedri 7. Igramo se pravcima, ravninama i prostorima

Utemeljitelj te formule je Leonardo Euler, poznati švicarski matematičar, fizičar… To je formula čije uvjete tijelo mora zadovoljavati da bismo ga mogli zvati poliedrom, a zasniva se na odnosima vrhova strana i bridova. Označimo broj vrhova poliedra s&nbsp;V, broj bridova s&nbsp;B&nbsp;i broj strana poliedra sa&nbsp;S. Tada formula glasi: V+S-B=2 Ona nam ukazuje da postoji samo 5 PRAVILNIH poliedara, a to su TETRAEDAR, HEKSAEDAR, OKTAEDAR, DODEKAEDAR i IKOSAEDAR.

Pravilni tetraedar&nbsp;(grč.&nbsp;tetra&nbsp;- četiri)

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;strane (jednakostranični trokuti) ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;4&nbsp;vrha ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;6&nbsp;bridova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;3&nbsp;jednakostranična trokuta sijeku se u svakom vrhu

Uvod u simetriju

U širem smislu proporcionalnost elemenata neke cjeline u veličini, obliku, intenzitetu, vrijednosti ili kakva druga obilježja; sukladnost skladnost Suprotno simetriji je asimetrija

U geometriji preslikavanje prostora pri kojem sve udaljenosti ostaju sačuvane

Simetralna ravnina dužine AB prolazi njezinim polovištem P i okomita je na pravac AB Svaka točka te ravnine jednako je udaljena od krajnjih točaka dužine AB

Kut α između pravca ρ i ravnine π definira se na sljedeći način:

1. α = 0°, ako je pravac paralelan s ravninom ili leži u njoj

2. α = 90°, ako je pravac okomit na ravninu

3. u ostalim slučajevima to je kut između pravca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu

Izvori: <a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10726_Okomitost.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10726_Okomitost.html</a>, <a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10727_Kut_pravca_i_ravnine._Kut_dviju_ravnina.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10727_Kut_pravca_i_ravnine._Kut_dviju_ravnina.html</a>

Heringova iluzija - crvene su linije ravne i paralelne.

Adelsonova iluzija (otkrivena 1995. Ted Adelson) Polja A i B na slici lijevo su potpuno iste nijanse&nbsp;sive boje. Ako ne vjerujete, pogledajte&nbsp;<a href="https://hr.wikipedia.org/wiki/Datoteka:Optical_illusion_greysquares.gif">animaciju.&nbsp;</a>

Prisjetimo se u kakvom odnosu mogu biti dva pravca. Na modelu kocke pronađite paralelne pravce, pravce koji se sijeku i mimoilazne pravce.

Primjeri mimoilaznih pravaca: AB i HD, BF i AD, CG i EH.

Primjeri pravaca koji se sijeku: AB i BC, BF i FG, DH i AD.

Neki primjeri paralelnih pravaca: AB i CD, FG i BC, AE i DH.

Pravac&nbsp;p koji siječe ravninu&nbsp;π okomit je na nju ako je okomit na svaki pravac koji prolazi probodištem pravca i ravnine i leži u toj ravnini. Pišemo:&nbsp;p⊥π.

Pravac i ravnina u prostoru su ili paralelni ili se sijeku u jednoj točki. Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad pravac leži u ravnini.&nbsp;

Ako pravac i ravnina nemaju presječnih točaka, kažemo da su paralelni.&nbsp; p∥π

Svaka točka pravca ujedno je i točka ravnine. Situacija kada pravac leži u ravnini zapisuje se&nbsp;p⊂π.

Ako se pravac i ravnina sijeku, tada imaju samo jednu presječnu točku.&nbsp; p⊂π

Ako se ravnine π i ρ sijeku po pravcu p,onda kroz točku A ∈ p, okomito na pravac p, prolazi jedinstvena okomica a sadržana u π&nbsp;i jedinstvena okomica b sadržana u ρ.Manji od kutova koje zatvaraju te dvije okomice kut je između ravnina π&nbsp;i ρ.

Izvor: <a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10727_Kut_pravca_i_ravnine._Kut_dviju_ravnina.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10727_Kut_pravca_i_ravnine._Kut_dviju_ravnina.html</a>

PRAVILNI POLIEDRI - TABLICA SA FORMULAMA&nbsp;

IZVOR: <a href="https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/s4prof/mreze_geom_tijela/web/index16.html">https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/s4prof/mreze_geom_tijela/web/index16.html</a>

primjer s stranice<a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10727_Kut_pravca_i_ravnine._Kut_dviju_ravnina.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10727_Kut_pravca_i_ravnine._Kut_dviju_ravnina.html</a>

Što kada projiciramo dužinu?

Kada projiciramo okomitu dužinu ortogonalna projekcija iste biti će jedna točka.

Ortogonalna projekcije dužine usporedne s ravninom projiciranja jednaka je po duljini samoj dužini.

Neka je zadano središte homotetije&nbsp;S&nbsp;i točka ravnine&nbsp;T. Konstruirajmo točku&nbsp;T`&nbsp;ako je koeficijent homotetije jednak&nbsp;3.

Nacrtajmo pravac ST. Budući da je k=3, točke su s iste strane točke S. A mora vrijediti da je |ST`|= 3* |ST|, dužinu ST nanesemo 3 puta na pravac ST, počevši od točke S. Tako ćemo dobiti točku T`.

Pri preslikavanju homotetijom s koeficijentom k:

a) pravac se preslika u pravac paralelan s njim b) kut se preslika u njemu sukladan kut c) dužina AB preslika se u paralelnu dužinu A'B' čija je duljina |A'B'|=|k|⋅|AB|

Jedan od najjednostavnijih konveksnih skupova kojemu je granica pravac naziva se poluravnina. To je dio ravnine kojoj je granica pravac. 

Primjer poluravnine čiji rubni pravac pripada toj ravnini.

Kao presjek konačno mnogo poluravnina može se dobiti omeđeni ili neomeđeni skup koji je uvijek mnogokut. Omeđeni skupovi se sastoje od dijelova pravca

Konveksni mnogokut s n stranica se dobije kao presjek jednakog broja poluravnina koliko ima i stranica. Konveksni mnogokut je omeđeni skup u ravnini, dobiven kao presjek konačno mnogo poluravnina.

GeoGebra</title><path id=logo_svg__ggbLogoLetter8 class=logo_svg__font-color d="M290.3 35.7V62H287v-4.5a14.76 14.76 0 0 1-4.8 3.9 12.65 12.65 0 0 1-5.8 1.3 12.79 12.79 0 0 1-9.5-4.1 13.82 13.82 0 0 1-4-9.9A13.66 13.66 0 0 1 276.5 35a12.84 12.84 0 0 1 5.9 1.4 13.65 13.65 0 0 1 4.6 4.1v-4.8zm-13.5 2.6a10.38 10.38 0 0 0-5.2 1.4 9.52 9.52 0 0 0-3.8 3.9 10.73 10.73 0 0 0 0 10.6 10.07 10.07 0 0 0 9 5.4 11 11 0 0 0 5.3-1.4 9.27 9.27 0 0 0 3.8-3.8 10.79 10.79 0 0 0 1.3-5.4 10.41 10.41 0 0 0-3-7.6 9.82 9.82 0 0 0-7.4-3.1z"></path><path id=logo_svg__ggbLogoLetter7 class=logo_svg__font-color d="M247.9 35.7h3.5v3.8a11.94 11.94 0 0 1 3.3-3.4 6.63 6.63 0 0 1 3.6-1.1 6.37 6.37 0 0 1 3 .9l-1.8 2.9a4.93 4.93 0 0 0-1.8-.5 5.3 5.3 0 0 0-3.3 1.4A9.72 9.72 0 0 0 252 44c-.4 1.5-.6 4.5-.6 9.1V62h-3.5z"></path><path id=logo_svg__ggbLogoLetter6 class=logo_svg__font-color d="M215.6 62V25.6h3.4v14.7a14.76 14.76 0 0 1 4.8-3.9 12.65 12.65 0 0 1 5.8-1.3 12.79 12.79 0 0 1 9.5 4.1 13.76 13.76 0 0 1 4 9.8 13.66 13.66 0 0 1-13.6 13.7 12.43 12.43 0 0 1-5.8-1.4 13.65 13.65 0 0 1-4.6-4.1V62zm13.6-2.5a10.38 10.38 0 0 0 5.2-1.4 9.52 9.52 0 0 0 3.8-3.9 11.35 11.35 0 0 0 1.4-5.3 10.76 10.76 0 0 0-1.4-5.3 10.44 10.44 0 0 0-3.8-4 10.3 10.3 0 0 0-5.1-1.4 11 11 0 0 0-5.3 1.4 9.27 9.27 0 0 0-3.8 3.8 10.79 10.79 0 0 0-1.3 5.4 10.41 10.41 0 0 0 3 7.6 9.65 9.65 0 0 0 7.3 3.1z"></path><path id=logo_svg__ggbLogoLetter5 class=logo_svg__font-color d="M205.4 53.3l2.9 1.5a17.24 17.24 0 0 1-3.2 4.5 13.59 13.59 0 0 1-4.1 2.6 14.18 14.18 0 0 1-5.2.9c-4.3 0-7.7-1.4-10.1-4.2a14.27 14.27 0 0 1-3.6-9.5 13.79 13.79 0 0 1 3.1-8.9 12.66 12.66 0 0 1 10.4-5 13.09 13.09 0 0 1 10.8 5.1 14.08 14.08 0 0 1 2.9 9h-23.7a10.58 10.58 0 0 0 2.9 7.5 9.14 9.14 0 0 0 7 2.9 10.72 10.72 0 0 0 3.9-.7 10.06 10.06 0 0 0 3.2-1.9 24.93 24.93 0 0 0 2.8-3.8zm0-7.1a11.46 11.46 0 0 0-2-4.3 8.84 8.84 0 0 0-3.4-2.6 9.88 9.88 0 0 0-4.5-1 9.62 9.62 0 0 0-6.7 2.5 10.88 10.88 0 0 0-3.1 5.4z"></path><path id=logo_svg__ggbLogoLetter4 class=logo_svg__font-color d="M174.9 32.4l-2.8 2.6a20.78 20.78 0 0 0-6.5-4.4 17.92 17.92 0 0 0-6.9-1.5 16.49 16.49 0 0 0-8 2.1 15.15 15.15 0 0 0-5.9 5.6 14.16 14.16 0 0 0 .1 15 15 15 0 0 0 6 5.7 16.79 16.79 0 0 0 8.3 2.1 13.93 13.93 0 0 0 9.3-3.1 12.48 12.48 0 0 0 4.5-8h-11.3V45H177c0 5.5-1.7 9.9-4.9 13.1s-7.6 4.9-13 4.9c-6.6 0-11.8-2.2-15.6-6.7a17.64 17.64 0 0 1-4.4-12 18.14 18.14 0 0 1 2.5-9.4 17.61 17.61 0 0 1 7-6.8 20.88 20.88 0 0 1 10-2.5 21.8 21.8 0 0 1 8.5 1.6 27.2 27.2 0 0 1 7.8 5.2z"></path><g id=logo_svg__ggbLogoLetter3><path class=logo_svg__font-color d="M116.35 40.43a3.87 3.87 0 0 1-1-2.53v-.1a18 18 0 0 0-7 5.91 3.88 3.88 0 0 1 2.2 1.82c.14-.21.25-.43.4-.63a14.1 14.1 0 0 1 5-4.3zM108.6 51.1v-.07a3.78 3.78 0 0 1-2.82 0 10.45 10.45 0 0 0 3 8.19 3.9 3.9 0 0 1 1.89-2 7.53 7.53 0 0 1-1.28-1.92 8.76 8.76 0 0 1-.79-4.2zm14.48-12.28a9.27 9.27 0 0 1 7.19 3.41 3.87 3.87 0 0 1 2.52-1 12.35 12.35 0 0 0-10-5 3.7 3.7 0 0 1 .27 2.6zM116.7 60.1l-.47-.08a3.7 3.7 0 0 1-.5 2.69 16.57 16.57 0 0 0 9-1.33 3.88 3.88 0 0 1-1.13-2.44 12.83 12.83 0 0 1-6.9 1.16zM132.9 49a3.86 3.86 0 0 1-1-.15 11.44 11.44 0 0 1-2.37 5.45c-.18.23-.37.45-.57.68a3.89 3.89 0 0 1 2 1.81c.34-.39.67-.78 1-1.19a15 15 0 0 0 2.69-7 3.86 3.86 0 0 1-1.75.4z" id=logo_svg__ggbLogoCircle></path><g id=logo_svg__ggbLogoEmblem><g id=logo_svg__ggbLogoDot><path class=logo_svg__dot-stroke-color d="M107.2 43.5a3.9 3.9 0 1 0 3.9 3.9 3.9 3.9 0 0 0-3.9-3.9zm0 6.6a2.7 2.7 0 1 1 2.7-2.7 2.7 2.7 0 0 1-2.7 2.7z" id=logo_svg__ggbLogoDotOuter></path><circle id=logo_svg__ggbLogoDotInner class=logo_svg__dot-fill-color cx=107.2 cy=47.4 r=2.7></circle></g><g id=logo_svg__ggbLogoDot-2><path class=logo_svg__dot-stroke-color d="M112.4 56.8a3.9 3.9 0 1 0 3.9 3.9 3.9 3.9 0 0 0-3.9-3.9zm0 6.6a2.7 2.7 0 1 1 2.7-2.7 2.7 2.7 0 0 1-2.7 2.7z" id=logo_svg__ggbLogoDotOuter-2></path><circle id=logo_svg__ggbLogoDotInner-2 class=logo_svg__dot-fill-color cx=112.4 cy=60.7 r=2.7></circle></g><g id=logo_svg__ggbLogoDot-3><path class=logo_svg__dot-stroke-color d="M119.3 34a3.9 3.9 0 1 0 3.9 3.9 3.9 3.9 0 0 0-3.9-3.9zm0 6.6a2.7 2.7 0 1 1 2.7-2.7 2.7 2.7 0 0 1-2.7 2.7z" id=logo_svg__ggbLogoDotOuter-3></path><circle id=logo_svg__ggbLogoDotInner-3 class=logo_svg__dot-fill-color cx=119.3 cy=37.9 r=2.7></circle></g><g id=logo_svg__ggbLogoDot-4><path class=logo_svg__dot-stroke-color d="M132.9 41.2a3.9 3.9 0 1 0 3.9 3.9 3.9 3.9 0 0 0-3.9-3.9zm0 6.6a2.7 2.7 0 1 1 2.7-2.7 2.7 2.7 0 0 1-2.7 2.7z" id=logo_svg__ggbLogoDotOuter-4></path><circle id=logo_svg__ggbLogoDotInner-4 class=logo_svg__dot-fill-color cx=132.9 cy=45.1 r=2.7></circle></g><g id=logo_svg__ggbLogoDot-5><path class=logo_svg__dot-stroke-color d="M127.5 54.7a3.9 3.9 0 1 0 3.9 3.9 3.9 3.9 0 0 0-3.9-3.9zm0 6.6a2.7 2.7 0 1 1 2.7-2.7 2.7 2.7 0 0 1-2.7 2.7z" id=logo_svg__ggbLogoDotOuter-5></path><circle id=logo_svg__ggbLogoDotInner-5 class=logo_svg__dot-fill-color cx=127.5 cy=58.6 r=2.7></circle></g></g></g><path id=logo_svg__ggbLogoLetter2 class=logo_svg__font-color d="M96.7 53.5l2.9 1.5a17.24 17.24 0 0 1-3.2 4.5 13.59 13.59 0 0 1-4.1 2.6 14.18 14.18 0 0 1-5.2.9c-4.3 0-7.7-1.4-10.1-4.2a14.27 14.27 0 0 1-3.6-9.5 13.79 13.79 0 0 1 3.1-8.9 12.66 12.66 0 0 1 10.4-5 13.09 13.09 0 0 1 10.8 5.1 14.08 14.08 0 0 1 2.9 9H76.9a10.58 10.58 0 0 0 2.9 7.5 9.14 9.14 0 0 0 7 2.9 10.72 10.72 0 0 0 3.9-.7 10.06 10.06 0 0 0 3.2-1.9 23.4 23.4 0 0 0 2.8-3.8zm0-7.1a11.46 11.46 0 0 0-2-4.3 8.84 8.84 0 0 0-3.4-2.6 9.88 9.88 0 0 0-4.5-1 9.62 9.62 0 0 0-6.7 2.5 10.88 10.88 0 0 0-3.1 5.4z"></path><path id=logo_svg__ggbLogoLetter1 class=logo_svg__font-color d="M66.3 32.6l-2.8 2.6a20.78 20.78 0 0 0-6.5-4.4 17.92 17.92 0 0 0-6.9-1.5 16.49 16.49 0 0 0-8 2.1 15.15 15.15 0 0 0-5.9 5.6 14.16 14.16 0 0 0 .1 15 15 15 0 0 0 6 5.7 16.79 16.79 0 0 0 8.3 2.1 13.93 13.93 0 0 0 9.3-3.1 12.48 12.48 0 0 0 4.5-8H53v-3.4h15.3c0 5.5-1.7 9.9-4.9 13.1s-7.6 4.9-13 4.9c-6.6 0-11.8-2.2-15.6-6.7a17.64 17.64 0 0 1-4.4-12 18.14 18.14 0 0 1 2.5-9.4 17.61 17.61 0 0 1 7-6.8 20.88 20.88 0 0 1 10-2.5 21.8 21.8 0 0 1 8.5 1.6 24.12 24.12 0 0 1 7.9 5.1z"></path></svg></a><div class=header-gap></div><ul class="viewers-headermenu valign-wrapper"><li><div><div class="popdown-button-container more-menu-button right-edge"><div class="dropdown-button icon-container popdown-button"><svg class=icon xmlns=http://www.w3.org/2000/svg width=24 height=24 viewBox="0 0 24 24"><path d="M12 16c1.1 0 2 .9 2 2s-.9 2-2 2-2-.9-2-2 .9-2 2-2m0-6c1.1 0 2 .9 2 2s-.9 2-2 2-2-.9-2-2 .9-2 2-2m0-6c1.1 0 2 .9 2 2s-.9 2-2 2-2-.9-2-2 .9-2 2-2z"></path></svg></div><div></div><div></div></div></div></li></ul></div></nav></div></header><div class="xi-grow-1 x-d-x x-row-fit"><div class="xi-shrink-0 w-0 trans-w-0_3"><div class="p-f t-0 l-0 h-100vh w-100 bg-black-disabled z-8 d-n"></div><div class="x-d-x x-column-fit oy-a p-f t-0 trans-l-0_3 h-100vh w-280px bg-white z-sidenav z-8-m l-280px"><div class="h-8 w-100 d-n-m trans-h-0_3-0_15 xi-shrink-0"></div><div class="d-n d-b-m clear-floats bb bc-gray-medium"><a class="icon-link-m f-l my-1 ml-1_5"><svg class=fc-black-medium xmlns=http://www.w3.org/2000/svg width=24 height=24 viewBox="0 0 24 24"><path d="M3 6h18v2H3V6m0 5h18v2H3v-2m0 5h18v2H3v-2z"></path></svg></a><a class="h-8 d-ib f-l" aria-current=true href=/ ><svg class="h-100 w-a py-1" id=logo_svg__ggbLogo xmlns=http://www.w3.org/2000/svg viewBox="0 0 320.9 90.7" width=320.9 height=90.7><defs><style>.logo_svg__font-color{fill:#666}.logo_svg__dot-fill-color{fill:#99f}.logo_svg__dot-stroke-color{fill:#000}</style></defs><title>GeoGebra

Konveksni poliedar omeđeni je skup u prostoru dobiven kao presjek konačno mnogo poluprostora. Strane poliedra konveksni su mnogokuti, dio ravnine koji odsijecaju preostale ravnine. Ravnine se sijeku po pravcu. Dijelovi pravaca koji su zajednički za ravnine koje se sijeku čine rubove tih konveksnih mnogokuta. To su bridovi poliedra. Pravci se sijeku u točki. Presjeci pravaca su vrhovi poliedra. Poliedar opisujrmo pomoću strana, bridova i vrhova.

Primjeri homotetije u prostoru i ponavljanje

Kahoot!

IZVOR:<a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10728_Preslikavanja_prostora.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10728_Preslikavanja_prostora.html</a>

Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na&nbsp;svaki&nbsp;pravac koji leži u toj ravnini i prolazi sjecištem pravca i ravnine.

Ortogonalna projekcija točke na ravninu je sjecište&nbsp;okomice&nbsp;na ravninu kroz tu točku.

Kut pravca i ravnine&nbsp;jest kut između pravca i njegove ortogonalne projekcije na ravninu.

a = 10 cm b = 12 cm c = 15 cm α = ?

PRIMJER: Duljine bridova kvadrata iznose 10, 12 i 15 cm. Koliki je kut što ga prostorna dijagonala kvadrata zatvara s njegovom najmanjom stranom?

D=√a^2+b^2+c^2 D=√(10)^2+(12)^2+(15)^2 D=√469

sinα=c/D sinα=15/(√469) α=43.8391 α=43°50'21''

ZADATAK 1: Odredi udaljenost točke P (polovišta dužine AB) od ravnine ρ.

Zadano: d (A, ρ) = 8 cm d (B, ρ) = 2 cm d (P, ρ) = ?

Zbog sličnosti trokuta možemo postavljati dužine u omjer.

Udaljenost točke P od ravnine ρ je 5 cm.

HOMOTETIJA U PROSTORU

Homotetija u prostoru je zapravo homotetno preslikavanje proizvoljnih točaka prostora

Ako je&nbsp;k=1 homotetična slika se preslikava u samu sebe tj. A=A`,B=B`,C=C`

Ako je k=−1 homotetične slike nalaze se na različitim stranama točke S te su obje slike jednake veličine ali inverznog oblika

Ako je k &gt; -1 homotetična slika nalazi se na suprotnoj strani točke S te je većeg i inverznog oblika

Ako je k&gt;1 homotetična slika nalazi se na istoj strani točke S te je većeg ali ne i inverznog oblika

ZAKLJUČAK: Možemo reći kako negativan predznak koeficjenta daje inverznu homotetičnu sliku na različitim stranama točke S Što je veći koeficjent to je veća slika Ako je koeficjent +-1 homotetična slika jednaka je onoj početnoj Ako je koeficjent između 1 i -1 homotetična slika bit će manja od one početne

Osna simetrija se odnosi na pravac Osnom simetrijom sliku preslikavamo u odnosu na pravac-mora se u potpunosti podudarati

Zadatak

Nacrtajmo ravninu u kojoj leži dužina i pravac koji probada ravninu: a) pod nekim kutom i ne siječe dužinu b) okomito i prolazi vrhom&nbsp;B c) pod nekim kutom i siječe dužinu.

<a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10728_Preslikavanja_prostora.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10728_Preslikavanja_prostora.html</a>

Rješenja također možete pronaći na linku

Primjere b) i c) pokušajte riješiti sami.

PRESJEK KOCKE RAVNINOM

Upoznati smo sa nacrtnom geometrijom i znamo da je problem određivanja presjeka tijela ravninom moguće riješiti konstruktivnim metodama nacrtne geometrije koristeći Mongeovu projekciju.

ŠTO JE TO MONGEOVA PROJEKCIJA?

To je ortogonalna projekcija na dvije ili više međusobno okomitih ravnina. Ovisno o položaju tih ravnina projekcije razlikujemo tlocrt, nacrt, stranocrt i bokocrt.

Prikazan je kut između dviju ravnina. Lako ga je uočiti pogledaju li se ravnine u smjeru njihovog poprečnog pravca p.

Pavac i ravnina u prostoru

<a href="https://wordwall.net/">https://wordwall.net/</a> (izrada kviza)

Izvor:<a href="https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10725_Medusobni_polozaj_pravaca_i_ravnina_u_prostoru.html">https://edutorij.e-skole.hr/share/proxy/alfresco-noauth/edutorij/api/proxy-guest/b9455aeb-16ae-4c3a-a6b1-da720c38c54d/html/10725_Medusobni_polozaj_pravaca_i_ravnina_u_prostoru.html</a>

Na prethodnoj slici prikazana je situacija kada je točka dio ravnine. U tom slučaju točke koje pripadaju ravnini su identične svojim ortogonalnim projekcijama

Kada točke kose dužine spustimo okomito (projiciramo) na ravninu, vidjet ćemo da je projekcija dužine kraća od same zadane dužine.

PRAVILNI POLIEDRI - PRIMJERI NA ZADACIMA

Pogledajte nekoliko primjera rješavanja zadataka uz audio objašnjenja!

Pravac je okomit na ravninu ako i samo ako je okomit na barem dva pravca koji prolaze probodištem.

Pravac AE okomit je na ravninu ABC

Pravac AH nije okomit na ravninu ABC

Pravac je paralelan s ravninom ako i samo ako je paralelan s nekim pravcem koji leži u toj ravnini.

Za konveksne skupove u prostoru vrijede slična svojstva koja imaju skupovi u ravnini.

Poluprostor je osnovni konveksan skup u prostoru. To je skup svih točaka koje leže s iste strane ravnine.

Svaka ravnina dijeli prostor na tri dijela: ravninu i dva poluprostora.

Presjeci poluprostora konveksni su skupovi. Mogu biti omeđeni ili neomeđeni.

Simetrija je razmjernost (proporcionalnost) elemenata neke cjeline u veličini, obliku, intenzitetu, vrijednosti ili kakvu drugom obilježju; sukladnost, skladnost

Simetrije možemo svrstati u tri osnovna područja: zrcalna&nbsp;(planarna) simetrija je simetrija u odnosu na ravninu osna&nbsp;(aksijalna) simetrija je simetrija u odnosu na pravac centralna&nbsp;(središnja) simetrija je simetrija u odnosu na točku

U matematici je simetrija preslikavanje točaka ravnine, odnosno prostora

možda još neki primjer iz prirode, građevine??? odraz dvorca Trakošćana u jezeru...ili....

Kviz za ponavljanje

https://quizizz.com/join/quiz/5ecf73c89bf98d001b1442a6/start?studentShare=true

Iluzija zida (eng.&nbsp;Café wall illusion) Richarda Gregoryja. Vodoravne linije zida su usporedne. Svaka "cigla" zida mora biti okružena neutralnim dijelom (u ovom slučaju sive boje).

Schrőderove stube. Zanimljivo je da je mozgu gotovo nemoguće zamisliti figuru kocke kao plošnu.

PRAVILNI POLIEDRI - ZANIMLJIVOST

U svom djelu Timaeus oko 350. g. prije Krista, grčki filozof Platon razvija svojevrsnu  teoriju i materijalni svijet gleda kao kombinaciju četiriju temeljnih elemenata. Ta četiri elementa su pravilni poliedri. Tetraedar je čestica vatre. Tetraedar je oštar te lako prodire u druga tijela. Kocka je najstabilniji od pet poliedara pa je čestica zemlje oblika kocke. Prozračni oktaedar je čestica zraka, a ikosaedar, jer je “najobliji” pa stoga lako klizi, čestica je vode.  Tu je još i peti pravilni poliedar, dodekaedar, i u Platonovu tumačenju oblik dodekaedra ima svemir.

IZVOR: <a href="http://gimnazija-cres.hr/wp-content/uploads/2019/01/PRAVILNI-POLIEDRI-mat.rad_.pdf">http://gimnazija-cres.hr/wp-content/uploads/2019/01/PRAVILNI-POLIEDRI-mat.rad_.pdf</a>

IZVOR:<a href="https://radiosarajevo.ba/multimedia/foto/egipat-zbog-koronavirusa-zapoceo-sa-ciscenjem-piramida-u-gizi/371685">https://radiosarajevo.ba/multimedia/foto/egipat-zbog-koronavirusa-zapoceo-sa-ciscenjem-piramida-u-gizi/371685</a>

<a href="https://create.kahoot.it/share/odreenost-pravca-dj/43524396-087e-4709-a707-11a22006d909">https://create.kahoot.it/share/odreenost-pravca-dj/43524396-087e-4709-a707-11a22006d909</a>

Street Art -Julian Beaver Collection - Pinterest

*već zadane stranice presjeka ravnine kockom su AM i AD1 *konstruirajte četvrtu točku na bridu CC1 1. način: - nacrtaj paralelu sa pravcem AD1 točkom M

2. način: -presjek pravca AM i njeogove ortogonalne projekcije na ravninu CDD1, tj. nacrtamo dva pravca : AM i ortogonalnu projekciju pravca AM- pravac CD (AM- DC) -dobimo sjecište pravca i njogove ortogonalne projekcije -nacrtamo pravac kroz dobiveno sjecište i točku D1 - presjek tog pravca s bridom CC1 je tražena točka -mnogokut koji smo dobili konstruiranom točkom i zadanim točkama: A, M, D1 je naš tražen presjek -provjerimo rezultat koristeći određenu "naredbu" tj. alat te odabirom triju zadanih točaka

Zadaci za <a href="https://carnet-my.sharepoint.com/personal/aleksandra_brmbota_skole_hr/_layouts/15/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Faleksandra%5Fbrmbota%5Fskole%5Fhr%2FDocuments%2FPresjeci%20kocke&amp;originalPath=aHR0cHM6Ly9jYXJuZXQtbXkuc2hhcmVwb2ludC5jb20vOmY6L2cvcGVyc29uYWwvYWxla3NhbmRyYV9icm1ib3RhX3Nrb2xlX2hyL0VzdGRDc2hBa3gxTmhxSXJZYXNaOUZVQktkbHI0aWlaNXdWaTFIdzI0VzRLaGc_cnRpbWU9REZlUUdVZ0MyRWc">vježbu</a> i <a href="https://carnet-my.sharepoint.com/personal/aleksandra_brmbota_skole_hr/_layouts/15/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Faleksandra%5Fbrmbota%5Fskole%5Fhr%2FDocuments%2FPresjeci%20kocke&amp;originalPath=aHR0cHM6Ly9jYXJuZXQtbXkuc2hhcmVwb2ludC5jb20vOmY6L2cvcGVyc29uYWwvYWxla3NhbmRyYV9icm1ib3RhX3Nrb2xlX2hyL0VzdGRDc2hBa3gxTmhxSXJZYXNaOUZVQktkbHI0aWlaNXdWaTFIdzI0VzRLaGc_cnRpbWU9REZlUUdVZ0MyRWc">rješenja</a>.

<a href="https://www.youtube.com/watch?v=Al_WF_2u67E">Kratke upute za upotrebu GeoGebre. </a>

Završni rezultat.docx

IZVORI: youtube, google, stranica škola za život, udžbenik i zbirka zadataka za 2. razred gimnazija i tehničkih škola (Matematika 2, Neven Dakić)

IGRAMO SE PRAVCIMA, RAVNINAMA I PROSTORIMA

Hermannova iluzija &nbsp;"Otkrio" ju je Ludimar Hermann 1870. godine. Gledajte u neki od primjera sa strane (na desnom primjeru se bolje vidi). Na presjecima crta rešetke vidjet ćete crne mutne točke. Ali, ako gledate ravno u presjek, vidjet ćete samo prazninu (bijeli prostor) - točke se vide na presjecima u koje ne gledate direktno.

Műller-Lyerova varka&nbsp; Koja je od prve dvije vodoravne linije na lijevoj slici dulja? Unatoč tome što se čini da je druga linija po redu dulja, one su jednake duljine. Jednako tako, na trećoj liniji odozgo označite sredinu, pa poslije provjerite metrom (nacrtajte na papir). Nesumnjivo ćete sredinu označiti bliže kraju (repu) strelice nego što ona to jest.

&nbsp;//hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Perceptivne_varke&amp;oldid=5114333

&nbsp;Pravilni dodekaedar&nbsp;(grč.&nbsp;dodeka&nbsp;- dvanaest)

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;12&nbsp;strana (pravilni peterokuti) ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;20&nbsp;vrhova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;30&nbsp;bridova 3&nbsp;pravilna peterokuta sijeku se u svakom vrhu

IZVOR: <a href="https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D_animacije-Platonova_tijela-129697">https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D</a> <a href="https://www.mozaweb.com/hr/Extra-3D_animacije-Platonova_tijela-129697">_animacije-Platonova_tijela-129697</a>

Pravilni ikosaedar&nbsp;(grč.&nbsp;ikosi&nbsp;- dvadeset)

·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;20&nbsp;strana (jednakostranični trokuti) ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;12&nbsp;vrhova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;30&nbsp;bridova ·&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;5&nbsp;jednakostraničnih trokuta siječe se u svakom vrhu

Pravci u prostoru mogu biti u sljedećim položajima:

1. Pravci leže u istoj ravnini 2. Pravci ne leže u istoj ravnini

Paralelnost pravaca u prostoru- dva su pravca paralelna ako leže u istoj ravnini i ne sijeku se

Mimoilaznost pravca - dva su pravca mimoilazna ako ne leže u istoj ravnini

Pravci su mimoilazni ako jedan pravac leži u ravnini a drugi pravac sječe tu ravninu u jednoj točki koja ne pripada prvom pravcu

ZRCALNA SIMETRIJA I SIMENTRALNA RAVNINA

Zrcalna simetrija je simetrija s obzirom na neku ravninu (simetralna ravnina)

Kada zrcalno preslikamo dužinu AB dobimo A'B' koj je jednake duljine kao i dužina AB te možemo reći kako zrcalna simetrija spada u izmoetrije

Simentralna ravnina je ravnina koja prolazi polovištem neke dužine, tijela ili lika te je okomita na njega te možemo reći kako je ona simetrala neke dužine, tijela ili lika

Za simetralnu racninu vrijedi: prolazi središtem okomita je na neko tijelo, lik ili dužinu

Za zrcalnu simetriju vrijedi: točke su jednako udaljene od ravnine pravac AA'&nbsp;okomit je na danu ravninu

Dvije ravnine koje dijele prostor na četiri dijela&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Tri ravnine koje se sijeku u jednoj točki dijele prostor na 8 dijelova&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

izvori:<a href="https://www.google.com/search?q=Dvije+ravnine+koje+dijele+prostor+&amp;tbm=isch&amp;ved=2ahUKEwix4qbPjNTpAhUDgHMKHXvFCwMQ2-cCegQIABAA&amp;oq=Dvije+ravnine+koje+dijele+prostor+&amp;gs_lcp=CgNpbWcQAzIECCMQJ1Cw0AFYsNABYPbRAWgAcAB4AIABiwGIAYsBkgEDMC4xmAEAoAEBqgELZ3dzLXdpei1pbWc&amp;sclient=img&amp;ei=TGTOXrGMBIOAzgP7iq8Y&amp;bih=888&amp;biw=1903&amp;hl=hr#imgrc=4iO0u7GZ58QBxM">https://www.google.com/search?q=Dvije+ravnine+koje+dijele+prostor+&amp;tbm=isch&amp;ved=2ahUKEwix4qbPjNTpAhUDgHMKHXvFCwMQ2-cCegQIABAA&amp;oq=Dvije+ravnine+koje+dijele+prostor+&amp;gs_lcp=CgNpbWcQAzIECCMQJ1Cw0AFYsNABYPbRAWgAcAB4AIABiwGIAYsBkgEDMC4xmAEAoAEBqgELZ3dzLXdpei1pbWc&amp;sclient=img&amp;ei=TGTOXrGMBIOAzgP7iq8Y&amp;bih=888&amp;biw=1903&amp;hl=hr#imgrc=4iO0u7GZ58QBxM</a> i <a href="https://l.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fwww.grad.hr%2Fgeomteh3d%2FMonge%2F07bokocrt%2F04-oktanti.png%3Ffbclid%3DIwAR021jjNRC8js81W2HmDNseHEMlmEjnDn5ClxnwwyfyYLLSKDwrtv6aGwDg&amp;h=AT27x1m4_UG_NvBICoTrKowvqmHYbhX3lRZtgvg4sXGNqtNNTY0wLsMCm_m3nJvmVn45qTPYTo143hFUB6gx0DAx3afmkNjfe4KZNykqeB6Lvm7xgit08fVX9J2tIZPaQofsdQ">https://l.facebook.com/l.php?u=https%3A%2F%2Fwww.grad.hr%2Fgeomteh3d%2FMonge%2F07bokocrt%2F04-oktanti.png%3Ffbclid%3DIwAR021jjNRC8js81W2HmDNseHEMlmEjnDn5ClxnwwyfyYLLSKDwrtv6aGwDg&amp;h=AT27x1m4_UG_NvBICoTrKowvqmHYbhX3lRZtgvg4sXGNqtNNTY0wLsMCm_m3nJvmVn45qTPYTo143hFUB6gx0DAx3afmkNjfe4KZNykqeB6Lvm7xgit08fVX9J2tIZPaQofsdQ</a>

PRIMJER OSNE I CENTRALNE SIMETRIJE IZ PRIRODE

IZVORI: <a href="https://sites.google.com/site/matkazamatkace/5-razred/skupovi-tocaka-u-ravnini/osna-simetrija">https://sites.google.com/site/matkazamatkace/5-razred/skupovi-tocaka-u-ravnini/osna-simetrija</a> <a href="https://www.hippopx.com/hr/fruit-lemon-squeezed-food-and-drink-vitamin-c-citrus-natural-45305">https://www.hippopx.com/hr/fruit-lemon-squeezed-food-and-drink-vitamin-c-citrus-natural-45305</a>

Konveksni skup je skup koji sa svake svoje dvije točke sadrži i njihovu spojnicu.

&nbsp;Primjer konveksnog skupa(lijevo) I skupa koji nije konveksan(desno).

Presjek dvaju ili više konveksnih skupova je konveksni skup. Konveksnom mnogokutu (poligonu) svaki je unutarnji kut manji od 180°.

Primjer ne konveksnog skupa (unutarnji kut je &gt; 180°)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;

POVRŠINA PROJICIRANOG LIKA

A´ i B´ su ortogonalne projekcije točaka A i B na ravninu π te zatvaraju kut φ te iz toga možemo zaključiti da je : I A´,B´I = I A , B I

P nam je površina nekog mnogokuta , P´ površina ortogonalne projekcije tog mnogokuta, a φ je kut koji zatvararavnina lika s ravninom projekcije P´ = P * cosφ

PS: kad računamo površinu najbolje ju je podijeliti u trokute 😊

Točke, pravci i ravnine

Točka, pravac i ravnina su osnovni pojmovi geometrije prostora i oni se ne definiraju.

umjesto definicije, njihova svojstva opisujemo AKSIOMIMA