Isometrias 6ºAno

Matemática 6ºAno

Vamos investigar...

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Maurits Cornelis Escher
(1898-1972)

Um artista brilhante gráfico, de origem holandesa, que nas suas obras misturou de forma única e original, a Arte e a Matemática.

Nas suas obras é comum, observar-se figuras geométricas que se repetem, por determinados padrões e ilusões de óptica.

Nas obras Escher utilizou quatro tipos de transformações geométricas: translações,
rotações, reflexões e reflexões deslizantes.

Como fazer?

O que vamos aprender?

A construir e a reconhecer propriedades de isometrias no plano.

A resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias.

A resolver problemas envolvendo figuras com simetrias.

Maurits Cornelis Escher
(1898-1972)

ISOMETRIAS

ISOMETRIAS

Uma Isometria é uma transformação que preserva a distância entre dois quais quaisquer pontos, ou seja, transforma uma figura noutra geometricamente igual.
Uma Isometria transforma um segmento de reta noutro com o mesmo comprimento.
Uma Isometria transforma um ângulo noutro com a mesma amplitude.

REFLEXÃO AXIAL / REFLEXÃO CENTRAL

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REFLEXÃO AXIAL

Dada uma reta r e um ponto A não pertencente a r, a imagem de A pela reflexão axial de eixo r é o ponto A´.
A imagem de um ponto da reta r pela reflexão axial de eixo r é o próprio ponto.
Dados dois pontos A e B e uma reta r, se A´e B´forem as imagens de A e B, respetivamente, pela reflexão axial de eixo r, então os segmentos de reta AB e A´B´ têm o mesmo comprimento.
Dados três pontos A,B e C e uma reta r, se A´,B´e C´ forem as imagens de A, B e C, respetivamente, pela reflexão axial de eixo r, então os ângulos ABC e A´B´C´são iguais.

REFLEXÃO CENTRAL

Dados dois pontos A e O , o ponto A´ é a imagem do ponto A pela reflexão central de centro O, se O for o
ponto médio do segmentos de reta AA´.
A imagem de O pela reflexão central de centro O é o próprio ponto O.
Dados três pontos A,B e O , se A´e B´ forem as imagens de A e B , respetivamente, pela reflexão central de centro O, então os segmentos de reta AB e A´B´ têm o mesmo comprimento.
Dados quatro pontos A,B, C e O, se A´,B´e C´ forem as imagens de A, B e C, respetivamente, pela reflexão central de centro O, então os ângulos ABC e A´B´C´ são iguais.

ISOMETRIAS

Vamos investigar outras isometrias...

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ISOMETRIAS

ROTAÇÃO

ROTAÇÃO

Dados dois pontos O e P e um ângulo alfa, o ponto P´ é a imagem do
ponto P por uma rotação de centro O ângulo alfa quando os segmentos de reta OP e O´P´ têm o mesmo comprimento e os ângulos alfa e POP´ têm a mesma amplitude (Figura 1).

Dados dois pontos O e P e um ângulo alfa (não nulo, não raso e não giro), existem exatamente duas imagens do o ponto P porrotações de centro O ângulo alfa, uma no sentido positivo e outra no sentido positivo (Figura 2).

Dados dois pontos O e P existe uma única imagem do ponto P por uma rotação de centro O e ângulo raso (Figura 3).

Se o ângulo de rotação for nulo, o ponto P é a única imagem do ponto P pela rotação de centro O e amplitude 0º.

Se o ângulo de rotação for giro, o ponto P é a única imagem do ponto P pela rotação de centro O e amplitude 360º (Figura 5).

Uma rotação transforma um segmento de reta noutro com o mesmo comprimento, cujas extremidades doo segmento de reta inicial.

A reflexão axial mantém as distâncias entre pontos, por isso, a reflexão axial é uma isometria.
Uma reflexão axial mantém a amplitude dos ângulos.

A reflexão central mantém as distâncias entre pontos, por isso, a reflexão central é uma isometria.
Uma reflexão central mantém a amplitude dos ângulos.

A rotação mantém as distâncias entre pontos, por isso, a rotação é uma isometria.
Uma rotação mantém a amplitude dos ângulos.

ATENÇÃO!

ISOMETRIAS

Uma reflexão axial é uma Isometria.

Uma reflexão central é uma Isometria.

Uma rotação é uma Isometria.

ISOMETRIAS

Vamos observar ISOMETRIAS!