UNIDAD 2: Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

ÍNDICE

2.1. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica..............................................................................4

2.2. Derivada de una curva en forma paramétrica.......................................................................6

2. 3. Tangentes a una curva...................................................................................8

INTRODUCCIÓN

El análisis vectorial es un campo de las matemáticas que se ocupa del análisis multivariante real de vectores en dos o más dimensiones. Incluye una amplia gama de fórmulas y técnicas de resolución de problemas que son muy útiles para la ingeniería y la física. Considerando los campos vectoriales, que relacionan un vector con cada punto del espacio, y los campos escalares, que relacionan una escala con cada punto del espacio. La representación gráfica, inferida de una función dada por un parámetro, coordenadas polares, representación gráfica de una curva plana en coordenadas polares, su objetivo será desarrollar modelos matemáticos con conceptos básicos de cálculo vectorial para resolver problemas matemáticos utilizando varios enfoques de conceptos básicos de la aritmética vectorial para aplicar los principios de las funciones a situaciones de la vida real en ingeniería.

2.1. Ecuaciones paramétricas de algunas curvas planas y su representación gráfica.

Curvas planas y ecuaciones paramétricas.
Una curva geométricamente hablando diremos que intuitivamente, es el conjunto de puntos que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve; si se usa el término curva por oposición a recta o línea poligonal, habría que excluir de esta noción los casos de, aquellas líneas que cambian continuamente de dirección, pero de forma suave, sin formar ángulos. Esto las distingue de las líneas rectas y de las quebradas. Estarían fuera de esta noción los casos de movimiento rectilíneo.

La recta tangente a una curva en un punto es el límite a que tiende la secante cuando los dos puntos de corte tienden a confundirse. De esta forma la tangente puede ser de primera especie cuando el punto de tangencia está quieto y el otro se aproxima al primero, de segunda especie cuando los dos puntos se aproximan simultáneamente hacia el de tangencia.

La clase de una curva es el número máximo de tangentes que se pueden trazar desde un punto exterior. La recta normal a una curva es la perpendicular a la tangente por el punto de tangencia. Según esta definición por un punto de la curva existirán infinitas normales. Para las curvas planas la más importante de estas normales es la coplanaria con la curva, que es la normal principal.

Ecuaciones paramétricas
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general: x = F (z) y = F (z) Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos.

Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas, en forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.

Ejemplo:

Coordenadas polares.
Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica.

2.2. Derivada de una curva en forma paramétrica.

Si una curva suave C está dada por la ecuaciones x=f(t) y y=g(t), entonces la pendiente de C en (x,y) es:

Esto se da ya que cumple con el teorema que proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.
Derivadas de orden superior para una función dad en forma parametrica 𝑆𝑖 𝑥 𝑦 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐷𝑥 2𝑦 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒:

Para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

2. 3. Tangentes a una curva.

La recta tangente a una curva es la que coincide con la curva en un punto y con la misma derivada, es decir, el mismo grado de variación.
El conocimiento de la recta tangente permitirá resolver problemas sencillos, en primer lugar, se podrán encontrar tangentes a cualquier función que se pueda derivar, en cualquier punto, y en segundo lugar y se puede utilizar como condición en problemas más complejos.

La recta tangente puede tener interesantes aplicaciones geométricas. La siguiente gráfica posición tiempo muestra la evolución de un atleta desde que empieza a correr. Se puede ver que el eje vertical representa la distancia recorrida, mientras que el horizontal representa el tiempo en segundos.

y-f(a)=f´(a)*(x-a)
Siempre se encontrarán tangentes a funciones polinómicas de orden superior a 1, o a funciones no polinómicas. La tangente a una recta sería la propia recta.

CONCLUSIÓN

Los campos vectoriales al igual que el cálculo vectorial son la parte esencial de un ingeniero dado que le da una estructura y una manera de ver las cosas y explorar un razonamiento del espacio y las dimensiones que este maneja.
A través de estos estudios se amplia el conocimiento acerca de la lógica, el razonamiento lógico, experimental, creativo, a nivel de la ciencia, etc.
Los campos vectoriales ayudan a manejar otro tipo de estructuras que no se perciben físicamente y que ayuda a mejorar los cálculos que se manejan a través de esto, además de ayudar a precisar
dichos cálculos.
Aporta muchas soluciones para problemas no solamente orientados a la matemática si no a nivel de física, química, problemas de campos de sistemas, como al enfoque de cualquier ingeniero por individual, y va enfocado a muchos campos, por esto su importancia.