Le coniche 3

L’iperbole equilatera riferita agli assi

L’iperbole equilatera riferita agli asintoti 

Si definisce iperbole equilatera un iperbole i cui asse trasverso e non trasverso hanno la stessa dimensione X^2-Y^2=K

L&apos;arco di ellisse può essere considerato una funzione.

Per quali valori di k l&apos;equazione è un ellisse?

Area della parte di piano delimitata dall&apos;ellisse.

L&apos;area della parte di piano delimitata dall&apos;ellisse, di semiassi a e b misura πab.

Esercizio: come trovare l’equazioni delle rette tangenti all’iperbole da un punto P(Xa;Yb) esterno all’iperbole 

• Retta tangente all'iperbole: sistema tra retta ed iperbole ...equazione risolvente Δ=0=&gt;due soluzioni coincidenti • Retta secante all'iperbole: sistema tra retta ed iperbole ...equazione risolvente Δ&gt;0=&gt; due soluzioni distinte • Retta esterna all'iperbole: sistema tra retta ed iperbole ...equazione risolvente Δ&lt;0=&gt; non esistono soluzioni

Esercizio: come trovare l’equazioni delle rette tangenti all’iperbole da un punto P(Xa;Yb) appartenente  all’iperbole 

L&apos;ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante: PF1+PF2= 2a

Esercizio posizione  retta-circonferenza 

Esercizio sulla retta tangente con sdoppiamento

Tangenti passanti per un punto P esterno all&apos;ellisse.

• Retta tangente all'ellisse: sistema tra retta ed ellisse ...equazione risolvente Δ=0=&gt;due soluzioni coincidenti • Retta secante all'ellisse: sistema tra retta ed ellisse ...equazione risolvente Δ&gt;0=&gt; due soluzioni distinte • Retta esterna all'ellisse: sistema tra retta ed ellisse ...equazione risolvente Δ&lt;0=&gt; non esistono soluzioni

Tangente passante per un punto P appartenente all&apos;ellisse.

Se P non appartiene all'ellisse δ, le formule di sdoppiamento sono valide: sostituendo le formule si trova la "polare", si procede intersecando la retta con l'ellisse. Le due tangenti, saranno le rette passanti per 2 punti, il punto di intersezione con δ e P.

Come trovare l’equazione della retta tangente

Punto P non appartenente alla circonferenza

Quando il punto non appartiene il metodo dello sdoppiamento permette di trovare la polare, che interseca la circonferenza nei due punti di intersezione con le tangente, svolgendo un semplice sistema tra la polare e la circonferenza è possibile trovare questi punti ed infine le tangenti.

Si definsce funzione omografica l’iperbole riferita agli asintoti traslata rispetto l’origine

Si definisce funzione omografica se e solo se 

Ellisse con fuochi sull&apos;asse x e sull&apos;asse y.

 Studio di un ellisse con i fuochi appartenenti all&apos;asse y.

Rappresentiamo un ellisse di equazione 4x^2+y^2=4, dopo averne determinato i vertici, i fuochi e l&apos;eccentricità. 

ECCENTRICITÀ Una circonferenza può essere vista come una particolare ellisse con i fuochi coincidenti nel centro della circonferenza, quindi un’ellisse avente eccentricità uguale a 0. Quando l’eccentricità è uguale a 1 : la distanza tra i due fuochi coincide con la misura dell’asse maggiore.

Geogebra: al variare dell&apos;eccentricità

Un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze i cui centri giacciono su una retta (retta dei centri), o aventi il medesimo centro. Il fascio è ottenuto utilizzando due circonferenze, dette generatrici. 

Se le generatrici sono secanti, allora tutte le circonferenze del fascio passano per i due punti base A e B (punti fissi) che appartengono all’asse radicale (circonferenza degenere). 

Se le generatrici sono tangenti in un punto T e se t è la tangente comune, allora tutte le circonferenze del fascio passano per l’ unico punto base T e sono tangenti in tale punto alla retta t, che è l’asse radicale del fascio.

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che il valore assoluto della differenza da due punti F1 e F2 detti fuochi è costante |PF1-PF2|=2a

Possono essere considerate come funzioni l’iperbole equilatera riferita agli asintoti la funzione omografica e i rami d’iperbole 

Come determinare l&apos;equazione di una parabola 

Determinare l&apos;equazione della parabola con asse parallelo all&apos;asse y, passante per P(0; 1), per B(–1;–1) e tangente alla retta y–x=0.

Determinare l&apos;equazione della parabola di vertice V(–2;0) e passante per P(0;4)

Determinare l&apos;equazione della parabola, con asse parallelo all&apos;asse x, passante per A (-2 ; -1), perB(0;-3) e per O(0;0).

Come determinare l&apos;equazione di un ellisse

Esercizio &quot; completamento dei quadrati&quot;.

L&apos;ellisse puó essere scritta anche come: Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0

Condizioni affinché l&apos;equazione sia un&apos;ellisse.

Retta secante alla circonferenza: distanza centro- retta è minore del raggio. Questa interseca la circonferenza γ in due punti Δ&gt;0=&gt; due soluzioni coincidenti

Retta esterna alla circonferenza: distanza centro retta è maggiore del raggio. Questa non interseca la circonferenza γ. Δ&lt;0=&gt; non esistono soluzioni

Retta tangente alla circonferenza : la distanza centro-retta è uguale al raggio. Questa interseca la circonferenza γ in un solo punto. Δ=0=&gt;due soluzioni coincidenti

L’iperbole in forma non canonica e la regola del completamento dei quadrati 

Condizioni affinché l&apos;equazione sia un&apos;iperbole.

Come determinare l&apos;equazione di un’iperbole

Caso 2: iperbole noti i fuochi e il semiasse trasverso 

L’iperbole con fuochi sull’asse delle x e sull’asse delle y 

Si definisce eccentricità del l’iperbole il rapporto tra la distanza focale e la misura dell’asse trasverso. Poiché la distanza focale è sempre maggiore dell’asse trasverso risulterà sempre e&gt;1 e man mano che aumenta l’eccentricità si ottengono iperboli più aperte

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso  C  detto centro, cioè:    

Il coefficiente di x^2 dev’essere uguale al coefficiente di y^2. Non dev’essere presente il coefficiente xy.

Come trovare l’equazione della retta tangente

Se il punto P(x0 , y0 ) appartiene alla parabola, il coefficiente angolare della retta si calcola con la seguente formula:

Se il punto P(x0 , y0 ) non appartiene alla parabola, allora in P esistono due tangenti distinte e per la ricerca dei loro coefficienti angolari si deve applicare la condizione di tangenza tra il fascio di rette per P e la parabola.

Ricerca dell’equazione di una circonferenza 

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta data d detta direttrice. 

Se le generatrici sono concentriche, il fascio è costituito da circonferenze concentriche alle due generatrici , non contiene circonferenze degeneri e l’asse radicale non esiste. 

Se le generatrici non hanno punti comuni e non sono concentriche, il fascio non ha punti base. L’asse radicale non interseca alcuna circonferenza del fascio. 

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