Rombul

Prezentare

În această lecție vom învăța să definim rombul, să recunoaștem și să desenăm corect un romb, care sunt proprietățile acestuia și cum putem demonstra că un patrulater convex este romb ( condiții necesare și suficiente ca un patrulater să fie romb).

Introducere

Voi ați întâlnit în jurul vostru obiecte care au formă de romb?
Vedeți în imaginile alăturate câteva exemple.

Design în construcții

Dale în formă de romb pentru pavaje

Faianță în formă de romb

Motive tradiționale românești

Motivul rombului pe o cămașă de femeie, Țara Maramureșului, Valea Izei, mijlocul secolului al XX-lea.

Desagi cu motivul rombului și unda apei, Țara Maramureșlui, Valea Izei, mijlocul secolului al XX-lea.

Țol în roate, Țara Maramureșului, Valea Izei, începutulul secolului al XX-lea. ( În termenii locali, covoarele ce au romburi în câmpul lor se numesc ”țoluri în roate”.)

Bijuterii în formă de romb

Cercei

Colier

Inel

Definiție:

Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente.

Proprietăți:

Rombul, fiind un paralelogram, are toate proprietățile acestuia (spunem că le moștenește):
-laturile opuse sunt paralele două câte două;
-laturile opuse sunt congruente două câte două;
-unghiurile opuse sunt congruente două câte două;
-oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare;
-diagonalele au același mijloc (se înjumătățesc);
-punctul de intersecție a diagonalelor este centru de simetrie a rombului.

Proprietăți specifice rombului:

Fie ABCD un paralelogram cu laturile AD și DC congruente.
Ce putem spune despre celelalte laturi?
Justifică răspunsul dat.

Teorema 1:

Un romb are toate laturile congruente.

Demonstrație:

Fie rombul ABCD. Deoarece este paralelogram, laturile opuse sunt congruente, deci (AB)≡ (DC) și (AD) ≡ (BC).
Condiția suplimentară, (AD) ≡ (DC), implică (AB) ≡ (BC) ≡ (CD) ≡ (DA).
În consecință, toate cele patru laturi ale rombului sunt congruente.

Teorema 2:

Diagonalele unui romb sunt perpendiculare.

Demonstrație:

Considerăm rombul ABCD și AC ∩ BD = {O}. Diagonalele sale se înjumătățesc, deci (OA) ≡ (OC) .
În triunghiul isoscel ABC, BO este mediana corespunzătoare bazei AC, deci este și înălțime. Rezultă BO ⊥ AC și cum BO este inclusă în BD reiese că BD ⊥ AC .
Deci diagonalele rombului sunt perpendiculare.

Teorema 3:

Diagonalele unui romb sunt bisectoare ale unghiurilor acestuia.

Demonstrație:

Considerăm rombul ABCD și AC ∩ BD = {O}.
Triunghiul ABD este isoscel, iar dreapta AC include mediana AO, corespunzătoare bazei.
Atunci, AC include și bisectoarea unghiului ∢BAD, adică ∢BAC ≡ ∢DAC .
Dar, ∢BAC ≡ ∢ACD și ∢DAC ≡ ∢ ACB (sunt alterne interne).
Cele trei congruențe conduc la ∢ACB ≡ ∢ACD, adică dreapta AC include și bisectoarea unghiului ∢BCD.
La fel se demonstrează că dreapta BD include bisectoarele unghiurilor ∢ABC și ∢ADC.

Teorema 4:

Diagonalele rombului sunt axe de simetrie ale acestuia.
(Deci rombul are două axe de simetrie.)

Demonstrație:

Considerăm rombul ABCD și fie un punct oarecare M aparținând rombului. Construim paralela prin punctul M la diagonala AC, care intersectează diagonala BD în punctul P și latura DC în punctul N ( deci și N se află pe romb). Cum MN ∥ AC și AC⊥ BD rezultă că MN ⊥ BD (1). Dar dreapta DP este inclusă în BD, deci DP⊥ MN adică DP înălțime în triunghiul MDN. Știm că diagonala DB este bisectoarea unghiului ADC al rombului și DP inclusă în DB, deci DP este bisectoarea unghiului MDN. Am obținut că DP este bisectoare și înălțime în triunghiul MDN, deci triunghiul MDN este isoscel de bază MN. Rezultă că înălțimea DP este și mediană, deci P este mijlocul segmentului MN (2). Din relațiile (1) și (2) obținem că punctele M și N sunt simetrice față de dreapta BD. Și cum M a fost ales arbitrar, rezultă că simetricul oricărui punct al rombului față de diagonala BD se află tot pe romb. Deci diagonala BD este axă de simetrie a rombului. Analog, se arată că și diagonala AC este axă de simetrie a rombului.

IMPORTANT!

Un romb interesant este rombul care are un unghi cu măsura de 60°. El este format din două triunghiuri echilaterale. Vedeți în figura alăturată!

OBSERVAȚII:

Deoarece rombul ABCD are toate laturile congruente obținem că triunghiul ABD este isoscel cu m( ∢BAD ) = 60° deci este echilateral. Rezultă că BD = AB = AD.

REȚINEȚI CĂ:

În orice romb care are un unghi cu măsura de 60° diagonala mică este congruentă cu latura rombului.

Avem două modalități prin care putem spune că un patrulater convex este romb.

I. Arătăm că toate laturile patrulaterului sunt congruente.

II. Parcurgem pașii următori:

1. Arătăm mai întâi că patrulaterul este paralelogram.
2. Arătăm una din condițiile următoare:
- paralelogramul are două laturi alăturate congruente;
- paralelogramul are diagonalele perpendiculare;
- o diagonală a paralelogramului este bisectoarea unui unghi al acestuia.

Condiții necesare și suficiente ca un patrulater să fie romb

1. Orice patrulater convex cu toate laturile congruente este romb.

2. Orice paralelogram cu diagonalele perpendiculare este romb.

3. Orice paralelogram în care o diagonală este bisectoare pentru unul dintre unghiurile acestuia, este romb.