Material Didático sobre Buracos Negros

Um diálogo com Karl Schwarzschild - Atividade 1 - Desvendando a primeira solução das Equações da Relatividade Geral Um diálogo com Roger Penrose - Atividade 2 - Os próximos passos: Um projeto de pesquisa

Karl Schwarzschild

Karl Schwarzschild | National Schools' Observatory

Karl Schwarzschild | German astronomer

Roger Penrose - Wikipedia

A Solução de Schwarzschild - Perfil Histórico

On the Gravitational Field of a Mass Point.pdf

Cem anos de buracos negros.pdf

Interpretação física da Solução de Schwarzschild

Penrose_The role of General Relativity.pdf

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Laura Borges dos Penedos laurapenedos@gmail.com

Eu nasci em Frankfurt, na Alemanha, em 1873. Desde cedo, fui muito habilidoso com as Ciências Naturais a ponto de publicar um artigo científico sobre a teoria das órbitas celestes aos 16 anos de idade. Enquanto professor na Universidade de Göttingen, desenvolvi técnicas de fotometria para medidas de estrelas e métodos para analisar espectros solares. Na área da Física Estatística moderna, pude contribuir com a hipótese do movimento solar e pesquisas sobre transporte de calor na atmosfera de estrelas.

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Primeiro, vou contar um pouco sobre mim, assim, a gente pode se conhecer melhor.

Você se lembra de suas aulas de História? Se sim, lembra que nos anos 1910s ocorreu a 1ª Guerra Mundial? Pois bem, com mais de 40 anos de idade, eu me juntei ao Exército para servir meu país na grande guerra nas frentes leste e oeste. Porém, não deixei de me dedicar aos estudos da Física e Astronomia. Em 1915, quando estava como soldado na frente de batalha, na trincheira, enquanto eu calculava trajetórias de mísseis, consegui encontrar a primeira solução exata das Equações de Campo da Relatividade Geral escritas por meu colega, Albert Einstein.

Apesar de não existir mais o termo 1/(r-2M) na solução original do meu amigo Schwazrschild, a mudança de variável feita por Eddington e Finkelstein gerou uma coisa muito interessante e curiosa! Nas novas variáveis, a superfície r=2M (logo, uma superfície esférica) representa fisicamente um limite em que, se um corpo cruzar essa superfície (em direção à origem, portanto, aproximando-se da massinha pontual no centro), não é mais possível ele dar meia volta na trajetória e o único caminho é se aproximar da massa pontual. E isso vale até mesmo quando o corpo é a própria luz!

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A superfície r = 2M tem algumas características muito especiais!!!

Devido a essa característica bem peculiar, essa superfície recebe o nome de Horizonte de Eventos!

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Penedos, L. B. Material Didático sobre Buracos Negros para estudantes do Ensino Médio. 2022. Disponível em &lt;<a href="https://read.bookcreator.com/BnAfkwfI2OZNyJdpgX1ILc3M2PS2/2vgUTmsQRSKJt1GTmHlDaQ">https://read.bookcreator.com/BnAfkwfI2OZNyJdpgX1ILc3M2PS2/2vgUTmsQRSKJt1GTmHlDaQ</a>&gt;.

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Vamos ver se eu entendi! Após uma mudança de variável, essa superfície tridimensional r=2M pode ser interpretada fisicamente da seguinte forma: Vamos supor que eu esteja muito distante da origem e andando em direção à uma massinha pontual (que está localizada na origem, r=0). Bom... essa situação é bem fácil de imaginar. Se for uma massa com valores muito grandes (por exemplo, o Sol), é de se esperar que eu esteja indo em direção à ele por atração gravitacional mesmo. Acontece que, se, por algum motivo, eu cruzar a superfície r=2M, não haverá meio nenhum que torne possível eu dar meia volta e me afastar da massinha. Mesmo que haja uma corda tentando me segurar ou um foguete com a maior potência possível para tentar me levar de volta ao meu ponto de partida, obrigatoriamente me aproximarei da massinha pontual situada em r=0.

Nossa... agora até eu fiquei confuso!!! E você? Deixa eu tentar me expressar de outra forma, talvez facilite nosso entendimento!

Neste capítulo, entenderemos de forma qualitativa o significado físico da solução encontrada por Schwarzschild

A primeira solução das Equações de Einstein

A ideia geral é partir do que seria o mais simples possível. Como você faria sabendo que as Equações da Relatividade Geral tratam os movimentos celestes (por exemplo órbitas) e sobre a relação entre composição de matéria e curvatura do espaço-tempo? Como você imagina que seria um bom possível ponto de partida? Vou te dar uma dica: Pense em algo que você já conhece!

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Agora, vou explicar como eu pensei para encontrar uma solução dessas equações tão grandes!

O Primeiro Encontro será destinado a trabalhar a motivação junto aos alunos sobre o porquê conhecer o que são Buracos Negros. A motivação será buscada em duas frentes: Pesquisa (20 min) e Cinema (Ficção Científica) (20 min)

Pesquisa - Reconstrução da imagem do Buraco Negro - Experimento do Event Horizon Telescope

Interstellar Black Hole scene

INTERSTELLAR - Como foi construído o Buraco Negro?

Event Horizon Telescope (EHT) | Center for Astrophysics

At Last, a Black Hole Image Revealed

Marble

A Relatividade Geral propõe uma visão diferente dos conceitos de Mecânica. Para Isaac Newton, gravidade é vista como uma força, cujos efeito e ação são imediatos. Mas, para a Relatividade Geral, ao postular que qualquer informação se propaga no máximo na velocidade da luz, então, os fenômenos físicos, incluindo a própria gravidade, não possuem ação instantânea. A consequência disso é que o tempo não é mais absoluto, mas sim, interrelacionado às dimensões espaciais. Portanto, tem-se o que chamados de Espaço-tempo. Estudando sobre as propriedades físico-matemáticas do Espaço-tempo, meu amigo Einstein e outros matemáticos ainda foram um pouco além. Eles compreenderam que o espaço-tempo plano (como uma tábua fina e rígida) é caracterizado por um ambiente sem aceleração. Já o fenômeno da aceleração ocorre quando o espaço-tempo é curvo. Ou seja, curvatura indica movimentos acelerados. Como o que sustenta todo o cosmo em suas maravilhosas órbitas é a gravidade, portanto, uma aceleração na visão de Isaac Newton, então, a Relatividade Geral se aplica também. Nesse caso particular dos objetos massivos, a curvatura desse tecido de espaço-tempo está intimamente ligada à massa. Quanto maior a massa do objeto, maior é a curvatura que ele gera e, portanto, os corpos sentirão maior atração gravitacional por ele. Isso faz sentido né? Pensando na Lei da Gravitação Universal newtoniana, quanto maior a massa, maior a força gravitacional que o objeto realiza.

Um diálogo com Schwarzschild

Neste capítulo, veremos como se deu a descoberta teórica do objeto físico intitulado de "buraco negro".

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Schwarzschild encontrou uma coisa que ele não sabe explicar muito bem. Acho que você já deve ter enfrentado isso também, né? Aquelas expressões matemáticas grandes e confusas, não é mesmo? Qual a primeira coisa que fazemos quando isso acontece (depois de um susto, claro)?

Pois é! Foi exatamente isso que dois cientistas (Eddington e Finkelstein) fizeram com a solução de Schwarzschild! Eles realizaram uma mudança de variável e, após algumas simplificações matemáticas, o termo 1/(r-2M) se transformou em outro que não cresce drasticamente conforme r se aproxima do valor 2M. Legal, né?

As palavras-chave são Simplificação e Mudança de variável!

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Olá, tudo bem? E aí, gostou da conversa que teve com meu amigo, Schwarzschild? Antes de prosseguirmos, vou me apresentar para que possamos nos conhecer melhor, pode ser?

Meu nome é Roger Penrose e nasci em 1931 no Reino Unido. Dedico minha vida até hoje aos estudos da Física-matemática, que é o nome dado a áreas da Física teórica cujo desenvolvimento está intimamente relacionado às pesquisas em matemática. Em especial, desde cedo, realizo pesquisas sobre a Relatividade Geral, estudando a solução de Schwarzschild e modelos mais recentes para ela. A facilidade que sempre tive com geometria faz com que eu compreenda os aspectos mais tênues sobre a curvatura do espaço-tempo. Já trabalhei lado-a-lado com Stephen Hawking, um grande amigo! Um fato curioso sobre mim é que, em 1994, recebi título de nobreza da família real britânica pelos meus serviços à ciência. E aí? Vamos seguir nessa jornada para ver se chegamos nos Buracos Negros de uma vez por todas?

Preto, né?!?! Eles são pretos! É a ausência de luz sendo emitida!

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"Eu não esperava que fosse possível formular a solução exata do problema de um modo tão simples" (Albert Einstein)

Ao enviar a solução para Einstein, por cartas, ele me respondeu com essas palavras!

Como você pode ver, Einstein ficou impressionado com o fato da solução ser simples, mas não há nada de tão impressionante. Vou explicar a você como eu pensei! Mas antes de tudo, preciso esclarecer o que são estas tais Equações da Relatividade Geral. Para começar, sugiro assistirmos juntos a um vídeo que mostrará de forma visual o que está por trás dessa teoria.

O Segundo Encontro será destinado à realização da Atividade 1. O ideal é pensar numa prática de Sala de Aula Invertida, uma vez que os estudantes já fizeram leituras e discutiram entre si no fórum previamente. Nesse encontro, sugere-se os seguintes passos: - Revisão dos conceitos básicos da Mecânica Newtoniana e do conteúdo exposto no material didático. (20 min) - Tira-dúvidas. (15 min) - Reflexão conjunta sobre o significado físico das Equações de Einstein. (15 min) - Formação de grupos de três pessoas e Realização da Atividade 1. Cada grupo deve ao final produzir um texto escrito sobre suas reflexões acerca das aplicações mais simples das Equações de Einstein. Professor e monitores devem estar atentos a cada discussão, guiando os grupos a partir de perguntas para se chegar na ideia de vácuo e massa pontual. (40 min)

Blue geometrical pattern

E isso é o que foi chamado de Buraco Negro!!!

E o fato mais interessante é que essa "rigidez" na trajetória após cruzar r=2M vale para a luz também. Ou seja, a solução de Schwarzschild "engole" até a luz!!! Consegue imaginar algo assim? Como seria a visualização desse objeto que até mesmo a luz não escapa?

Lembra-se de suas aulas de Física Óptica? Por favor, ajude a me lembrar como são os objetos que absorvem toda a luz do ambiente.

Você pode se perguntar: Se existe uma lei direta vinda de Newton entre Aceleração e Massa, haverá também algo semelhante com as entidades Curvatura e Massa? Daí que aparecem as Equações da Relatividade Geral! Elas tratam justamente disso e vão além: elas descrevem não apenas a relação entre massa e curvatura, mas entre qualquer ente material com quaisquer propriedades físicas e curvatura! Conforme já conversamos anteriormente, as Equações da Relatividade Geral produzem uma espécie de fórmula em que, ao utilizá-la tenho a seguinte situação: se eu conheço previamente como se curva o espaço-tempo, então, posso conhecer que tipo de matéria causa essa curvatura, e vice-versa.

Para um aprofundamento, consulte a versão comentada do livro "A Teoria da Relatividade Especial e Geral", de Albert Einstein. Tradução e comentários de Carlos Roberto Nogueira de Freitas.

A_TEORIA_DA_RELATIVIDADE_ESPECIAL_E_GERAL - Versão Comentada.pdf

Sim, a solução que encontrei da curvatura de uma massinha pontual M tem um elemento parecido com 1/r mesmo, semelhante ao Newton! Mas, a grande descoberta é que ela possui mais um outro termo bem diferente! Um termo da forma 1/(r - 2M). Ou seja, conforme se aproxima de r=0 e de r=2M, o efeito gravitacional vai ficando cada vez maior. E isso, nem eu consegui entender direito. A primeira coisa que eu poderia pensar seria algo semelhante a um vortex, mas, ainda assim, não está claro para mim o significado.

Purple zig-zag pattern

Elaborando um projeto de pesquisa sobre Buracos Negros

Essa Atividade será feita em duas partes! O objetivo principal dela é que, ao concluí-la, você possua um passo-a-passo sobre os elementos que gostaria de aprender sobre buracos negros! Em outras palavras, você desenvolverá a nível introdutório um projeto de pesquisa que lhe poderá ser muito útil quando realizar uma Iniciação Científica em seu período universitário. Vamos lá? A primeira parte de um projeto de pesquisa consiste em refletir sobre o que você sabe e o que gostaria de saber. Para tanto, sugiro que faça uma revisão do que vimos até aqui. Em seguida, realize o que chamamos de Pesquisa Bibliográfica e procure por elementos que você gostaria de aprender! Tente refletir sobre um possível passo-a-passo que você deve estudar até chegar na compreensão de um dado tema dentro da área. Como vimos, o desenvolvimento científico é um processo, assim como nosso aprendizado! Ao final, elabore uma pequena apresentação oral sobre o que você encontrou e pensou. Não esqueça de ir registrando todos os textos, suas reflexões e os conceitos que serão colocados no projeto. No Terceiro Encontro com seu professor e colegas, você fará essa apresentação. A segunda parte da Atividade 2 será a escrita do projeto de pesquisa! Após o Terceiro Encontro, você terá uma boa compreensão sobre como escrever um projeto de pesquisa e os pontos importantes que ele deverá conter. Interaja com seus colegas no fórum para compartilhar conhecimento e experiência.

Trechos do vídeo "Para finalmente entender a Teoria da Relatividade de Albert Einstein", da BBC News Brasil. Versão completa, clique <a href="https://www.youtube.com/watch?v=fwzzgJOLZkM">aqui</a>.

Desvendando a primeira solução das Equações de Einstein

Essa Atividade será feita no seu próximo encontro síncrono com o seu professor e colegas e tem como objetivo visualizar possíveis pontos de partida para encontrar as soluções mais simples das Equações da Relatividade Geral. Não haverá formalismos matemáticos, pois a base da atividade é puramente conceitual. Vamos retomar o que discutimos até agora? Vimos juntos que as Equações da Relatividade Geral servem para relacionar o conteúdo de matéria (qualquer constituinte físico) com a curvatura sustentada por ele no espaço-tempo. O espaço-tempo 100% plano não possui curvatura, portanto, nem força e aceleração. Disso, nós já podemos pensar que, como vivemos num ambiente dinâmico (nós corremos, carros freiam e aceleram nas ruas a todo momento), o espaço-tempo no qual estamos inseridos não é plano! Agora, meu maior desejo é construir junto com você o processo que realizei a alguns anos atrás de utilizar essas Equações de Einstein. Sabendo que elas tratam de matéria e curvatura, qual seria a primeira forma mais simples de aplicá-la? E a segunda forma mais simples? Para isso, utilize os conceitos que você já conhece! Vou dar umas ideias: Vácuo, Movimento Uniforme, Massa pontual (sem dimensões), Ambiente sem resistência do ar.

Acho que conseguimos entender, não é mesmo?

Mas, olha só! Tudo que conversamos aqui são apenas alguns anos do desenvolvimento de Buracos Negros, que iniciou com Schwarzschild em 1916. Porém, Buraco Negro possui mais de 100 anos de história! Eu mesmo só ganhei o Nobel sobre minhas pesquisa em Buracos Negros em 2020! Vários físicos e matemáticos passaram todas as suas vidas se dedicando a eles! Por exemplo: Stephen Hawking, James Bardeen, Brandon Carter, Jacob Bekenstein, Werner Israel e tantos outros. Hoje, Buracos Negros perpassam várias áreas além da Relatividade Geral do meu amigo Einstein, como Termodinâmica e Teoria Quântica de Campos! Como podemos prosseguir a partir daqui para estudar esse vasto mundo dos buracos negros?

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Essa solução de Schwarzschild seria algo desse jeito, então! Concorda?

O Terceiro Encontro tem como objetivo trabalhar com os estudantes os próximos passos para compreensão dos Buracos Negros Nesse encontro, cada estudante fará uma apresentação oral mostrando o que descobriu sobre os modelos mais recentes e qual seria o passo-a-passo para estudá-los. Sugere-se que os estudantes se engajem na apresentação dos colegas no sentido de perguntarem e serem questionadores. A ideia geral é promover uma troca de experiência e conhecimento que cada um realizou em suas pesquisas bibliográficas. Ao término de todas as apresentações, o professor fará uma exposição sobre a parte técnica/escrita de projeto de pesquisa e os elementos principais deverão estar presentes. Duração do Encontro: 3h (Pode ser divido em dois Encontros caso haja necessidade) - Apresentações dos estudantes: 2 horas - Discussão sobre a realização do Projeto de Pesquisa: 1 hora

Roteiro sugerido para formatação do Projeto de Pesquisa - Auxílio à Pesquisa Regular 

Radial blue

Como vimos no vídeo, a Teoria da Relatividade Geral revolucionou o pensamento científico, pois Einstein propôs uma linha de raciocínio completamente diferente da mecânica newtoniana.

As famosas equações da Relatividade Geral surgem justamente da ideia de que massa (por exemplo, o Sol) curva o tecido do espaço-tempo. E essa curvatura é a medida de gravidade. De forma bastante geral, elas dizem que o conteúdo de matéria (ou seja, a composição física dos objetos), representado pela letra T, é equivalente à estrutura geométrica do espaço-tempo, representada pela letra G. Com isso, temos praticamente uma fórmula para compreender, por exemplo, de que forma o Sol curva o espaço-tempo a ponto da Terra realizar uma órbita elíptica ao redor dele. Essas equações são complicadas por estarem dentro de uma álgebra chamada tensorial e, por isso, utilizam-se de índices na sua representação.

Representação matemática das Equações da Relatividade Geral G_ab = T_ab

A Primeira Solução Exata das Equações de Einstein

Viu, como pensar conceitualmente torna tudo mais simples? E minha ideia foi justamente essa: partir do que eu já conhecia. E o que conhecemos muito bem é o movimento de massas pontuais (seja bloquinhos caindo em rampas, em lançamento vertical, ou parados). Que tal uma massa pontual parada sem nada mais? Bom... Se tem uma massinha, então, existe gravidade nesse espaço-tempo, consequentemente, uma curvatura. Logo, as Equações de Einstein devem me retornar valores não triviais (0=0). O que sabemos sobre o efeito gravitacional de massas pontuais? Conhecemos o potencial newtoniano (V ~ 1/r). Ou seja, uma massa pontual exerce uma ação gravitacional cada vez mais intensa quanto mais próximo se está dela. E, para um mesmo valor de r, o potencial é constante tornando possível um movimento de órbita, por exemplo.

Sugestão de site para realizar sua Pesquisa Bibliográfica:

Scientific American Brasil

Em "Buscar" (no site), digite, por exemplo, Buraco Negro, Schwarzschild, Relatividade Geral.&#160;

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Olá! Tudo bem? Meu nome é Karl Schwarzschild e estarei te acompanhando nessa primeira parte da jornada para desvendar o que são os buracos negros. Vamos lá?

Material do Professor para as aulas

Para explicar o significado dessa descoberta, vou chamar Sir Roger Penrose, que se dedica até hoje em entender as Equações de Einstein! Olá, Roger, tudo bem? Poderia nos ajudar?

Olá Karl! Como você está? Claro! Vamos junto nessa entender o significado físico dessa solução. Eu trabalho até hoje com isso! Será um prazer!

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